Введение 1
Глава 1. Основные определения и понятия 2
1.1. Временные ряды. Стохастический процесс 2
1.2. Модель авторегрессии AR(p) 2
1.3. Метод максимального правдоподобия 3
Глава 2. Исследование модели авторегрессии AR(2) 5
2.1. Точное решение относительно отклонений ОМП 5
2.2. Исследование сильной состоятельности ОМП 7
2.3. Моделирование в среде Mathematica 9
Заключение 14
Список литературы 15
Приложение
Вопрос исследования временных рядов имеет очень широкое применение во многих областях, таких как экономика, обработка сигналов, распознавание образов, финансовые рынки, астрономия, прогнозирование погоды и климатических условий, разработка автопилотов для транспорта и прогнозирование траекторий движения, и, в общем-то, в любой области применения науки и техники, которая включает в себя временные измерения. И зачастую различные сложные, на первый взгляд, процессы можно описать несложными стохастическими моделями с высокой точностью. Например, моделями авторегрессии невысокого порядка, такими как AR(2) или AR(1).
При изучении временных рядов и процессов, которые лежат в их основе, обычно можно вычислить, предсказать, или может даже угадать только модель, которой подчиняются эти ряды, когда сами параметры модели остаются неизвестными. По этому, вопрос оценки параметров модели по имеющимся данным является одним из центральных вопросов в этом изучении. Ведь оценив параметры модели, уточнив модель, возможно уже прогнозировать и предсказывать те процессы и явления, которые описывает данная модель.
Метод максимального правдоподобия имеет очень важную роль в исследовании моделей авторегрессии. Так как оценки, полученные этим методом, обладают такими важными свойствами, как асимптотическая эффективность, асимптотическая нормальность, и состоятельность.
Постановка задачи.
Основной вопрос исследований в этой работе — это исследование асимптотических свойств, а, точнее, сильной состоятельности оценок максимального правдоподобия для модели авторегрессии второго порядка AR(2). И в основу данной работы легли результаты, полученные в работе А.Н.Ширяева [1; гл. 2, §2b], где подробно изложены исследования модели авторегрессии первого порядка AR(1).
В работе была рассмотрена модель авторегрессии второго порядка и исследован вопрос сильной состоятельности оценок максимального правдоподобия для данной модели. Были сформулированы и доказаны лемма 1 и теорема 1, применяя которые в некоторых случаях можно проверить вопрос о сильной состоятельности оценок для данной модели. Теоретические результаты были подтверждены практическим моделированием. А также в ходе моделирования были найдены случаи, для которых возможно можно усилить теорему для покрытия большего класса моделей.
