ВВЕДЕНИЕ 3
1 Постановка задачи 5
2 Линейное интегральное уравнение Фредгольма 6
2.1 Аппроксимация интегрального уравнения Фредгольма II рода квадратурной формулой 6
2.2 Многосеточный метод решения СЛАУ 9
2.3 Основные результаты работы 13
2.3.1 Пример I 13
2.3.2 Пример II 14
2.3.3 Пример III 15
2.4 Описание программы в среде «Matlab» 16
3 Нелинейное интегральное уравнение Урысона 18
3.1 Существование решений у нелинейных интегральных уравнений
3.2 Аппроксимация интегрального уравнения Урысона квадратурной формулой 20
3.3 Методы решения систем нелинейных уравнений 22
3.3.1 Метод простой итерации 22
3.3.2 Метод Ньютона 23
3.4 Многосеточный метод решения системы нелинейных уравнений
3.5 Основные результаты работы 26
3.5.1 Пример I 26
3.6 Описание программы в среде «Matlab» 27
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 29
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 30
ПРИЛОЖЕНИЕ А Код программы 31
ПРИЛОЖЕНИЕ Б Код программы

Купить

В данной работе рассматривается задача решения многосеточным методом системы линейных алгебраических уравнений, получаемых путём аппроксимации интегрального уравнения квадратурными формулами.
К интегральным уравнениям приводят многие задачи, возникающие и в самой математике, и в многочисленных ее приложениях, как например, метод решения дифференциальных уравнений, заключающийся в сведении его к интегральному. Известные законы сохранения массы, импульса, энергии имеют интегральную формулировку и приводят к интегральным уравнениям. С помощью интегральных уравнений описываются законы газовой динамики, экологии, электродинамики и т.д. Преимуществом таких моделей служит то обстоятельство, что в отличие от дифференциальных уравнений, интегральные не содержат производной искомой функции, а, следовательно, накладывают менее жесткие ограничения на гладкость неизвестного решения.
В общем виде интегральные уравнения записываются как и(х) — j K(x,s,u(s)) ds = f(х), где D - некоторая область, и - неизвестная функция, f - заданная функция, К - в общем случае нелинейная относительно х функция. [3,9,10]
Приведение к интегральным уравнениям при исследовании краевых задач является естественным, потому что в таких уравнениях связаны между собой значения известных и неизвестных функций лишь н а конечном интервале, а не на бесконечно малом, как дифференциальные уравнения.
Нелинейные интегральные уравнения изучены и классифицированы гораздо в меньшем объеме и их теория менее стройна и едина, в отличие от линейных уравнений. Они характерны для исследования процессов в нелинейных средах, в частности в теории нелинейных колебаний. Для различных классов нелинейных интегральных уравнений существует большое число теорем об их разрешимости и о свойствах их решений. Численное решение нелинейных уравнений часто оказывается затруднительным, хотя и здесь существует ряд подходов. В данной работе будет рассмотрен подход аппроксимации в уравнении интеграла квадратурными формулами.
Целью данной работы является применение и изучение эффективности многосеточного подхода для решения интегрального уравнения.
Работа содержит две главы:
1) Случай линейного интегрального уравнения Фредгольма II рода
2) Случай нелинейного интегрального уравнения типа Урысона
В каждой из глав приведена соответствующая теоретическая часть, в том числе приводятся результаты о существования решения.
Затем приводится итерационные процессы, и обсуждаются вопросы их использования для решения интегральных уравнений.
Приводятся результаты численных экспериментов, сведенных в таблицы, проводится анализ полученных результатов.
Приведен текст реализованной в среде Matlab программы, описаны все соответствующие функции.
Купить