Тема: МНОГОСЕТОЧНЫЙ МЕТОД ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА II РОДА

В данной работе рассматривается задача решения многосеточным методом системы линейных алгебраических уравнений, получаемых путём аппроксимации интегрального уравнения квадратурными формулами.
К интегральным уравнениям приводят многие задачи, возникающие и в самой математике, и в многочисленных ее приложениях, как например, метод решения дифференциальных уравнений, заключающийся в сведении его к интегральному. Известные законы сохранения массы, импульса, энергии имеют интегральную формулировку и приводят к интегральным уравнениям. С помощью интегральных уравнений описываются законы газовой динамики, экологии, электродинамики и т.д. Преимуществом таких моделей служит то обстоятельство, что в отличие от дифференциальных уравнений, интегральные не содержат производной искомой функции, а, следовательно, накладывают менее жесткие ограничения на гладкость неизвестного решения.
В общем виде интегральные уравнения записываются как и(х) — j K(x,s,u(s)) ds = f(х), где D - некоторая область, и - неизвестная функция, f - заданная функция, К - в общем случае нелинейная относительно х функция. [3,9,10]
Приведение к интегральным уравнениям при исследовании краевых задач является естественным, потому что в таких уравнениях связаны между собой значения известных и неизвестных функций лишь н а конечном интервале, а не на бесконечно малом, как дифференциальные уравнения.
Нелинейные интегральные уравнения изучены и классифицированы гораздо в меньшем объеме и их теория менее стройна и едина, в отличие от линейных уравнений. Они характерны для исследования процессов в нелинейных средах, в частности в теории нелинейных колебаний. Для различных классов нелинейных интегральных уравнений существует большое число теорем об их разрешимости и о свойствах их решений. Численное решение нелинейных уравнений часто оказывается затруднительным, хотя и здесь существует ряд подходов. В данной работе будет рассмотрен подход аппроксимации в уравнении интеграла квадратурными формулами.
Целью данной работы является применение и изучение эффективности многосеточного подхода для решения интегрального уравнения.
Работа содержит две главы:
1) Случай линейного интегрального уравнения Фредгольма II рода
2) Случай нелинейного интегрального уравнения типа Урысона
В каждой из глав приведена соответствующая теоретическая часть, в том числе приводятся результаты о существования решения.
Затем приводится итерационные процессы, и обсуждаются вопросы их использования для решения интегральных уравнений.
Приводятся результаты численных экспериментов, сведенных в таблицы, проводится анализ полученных результатов.
Приведен текст реализованной в среде Matlab программы, описаны все соответствующие функции.
Купить

1) Результаты как линейного случая интегральных уравнения, так и нелинейного случая, отображенные в таблицах 1-4 свидетельствуют о явном росте эффективности применения большего количества сеток в многосеточном подходе в связи с увеличением размерности плотной сетки
2) Нелинейная задача показывает менее удовлетворительные результаты по сравнению с линейной задачей в связи с существенно большой трудоемкостью выполнения процедуры получения приближения по методу Ньютону по причине затратного формирования матрицы Якоби имеющейся нелинейной системы уравнений, а также последующее решение системы линейных алгебраических уравнений с ней
3) Значительную роль в увеличении времени решения нелинейной задачи играют средства реализации данной программы в системе Matlab и их оптимальное использование, поскольку как было замечено, наибольшая трудоемкость метода Ньютона заключена в формировании матрицы Якоби, и именно генерация и использование нелинейной системы является достаточно трудно оптимизируемым в среде Matlab.

Купить