ВВЕДЕНИЕ 3
1 Постановка задачи 4
2 Построение разностной схемы 5
3 Построение модельной задачи 12
4 Итерационный метод решения разностной схемы 15
5 Численные эксперименты 16
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 27
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ 28
ПРИЛОЖЕНИЕ А 29
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
Изучение процессов теплообмена всегда играло важную роль в развитии техники и естествознания. В начале прошлого века исследования в этой сфере развивались главным образом из-за потребностей, возникших в то время в теплоэнергетике.
За последние десять лет сфера интенсивного исследования и использования явлений теплообмена сильно возросла. Она состоит из ведущих направлений техники (химическая технология, металлургия, строительство, нефте- разработка, машинная отрасль, агротехника и т.д.), и основных естественных наук (биология, геология, физика атмосферы и океана и другие). Теоретическое изучение процессов теплообмена в настоящее время в большей степени основывается на их численном моделировании с применением ЭВМ. Это стало возможным благодаря огромному прогрессу в области развития вычислительных методов решения задач для уравнений в частных производных и увеличению производительности современных вычислительных машин.
Численное моделирование процессов теплообмена в настоящее время при-обретает все более значительную роль, потому что современная наука и техника нуждаются в достоверном прогнозе таких процессов, экспериментальное изучение которых в лабораторных или естественных условиях крайне сложно и дорого, а нередко и просто невозможно.
В работе рассматривается математическая модель распределения температуры в неоднородной пластине. Изменение температуры в пластине со временем определяется уравнением теплопроводности [1]. В рассматриваемой задаче теплоемкость и коэффициент теплопроводности являются нелинейными функциями искомого решения.
Выпускная квалификационная работа состоит из введения, пяти параграфов, приложения, листинга программы и литературы. В первом параграфе рассматривается постановка задачи. Второй параграф посвящен построению разностной схемы. Аппроксимация пространственного оператора получена с помощью метода сумматорных тождеств [2]. В третьем параграфе строится модельная задача. Итерационный метод Ньютона [3] для решения разностной схемы описывается в четвертом параграфе. В следующем параграфе приведены результаты численных экспериментов, экспериментально было установлено условие устойчивости явной разностной схемы. В приложении размещены некоторые графики численных экспериментов и листинг программы.
Программа была реализована с помощью MATLAB [4,5], поскольку в нем удобно проводить вычисления и строить графики. Выпускная квалификационная работа оформлена в редакторской системе LATEX [6].
В выпускной квалификационной работе проведённые численные эксперименты показали:
1) Итерационный метод сходится при т
2) Коэффициент нелинейности 0 не влияет на решение.
3) Погрешность решения равна порядку h2шага сетки.
4) Погрешность между точным и приближенным решением растёт со временем.
