Дифференциальные уравнения представляют собой математические модели различных процессов и явлений. Они обширно применяются на практике, в частности с целью описания переходных процессов.
Появлению нелинейных дифференциальных уравнений способствовали нелинейные задачи в механике. В этих уравнениях участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, которые рассматриваются как функции от времени. На данный момент нелинейные дифференциальные уравнения изучены намного меньше, чем линейные.
Нелинейные ОДУ - раздел математики, изучающий теорию и способы решения нелинейных уравнений, содержащих искомую функцию и ее производные различных порядков одного аргумента (обычные нелинейные дифференциальные) или нескольких аргументов (нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных).
Данные уравнения возникают во многих физических задачах: в механике, термоупругости, оптике, гидродинамике, аэродинамике, радиотехнике, электротехнике и др., но они ограничиваются не только физикой, но и другими областями науки: биологии, химии, экономики. Редко удается получить точное решение данных уравнений, поэтому решения находятся приближенно. Для поиска приближенного решения используют различные численные методы, например: метод конечных разностей, метод Галеркина и метод конечных элементов.
Целью выпускной работы является программная реализация в среде Mat Lab метода конечных элементов произвольного порядка точности для решения на конечном отрезке (a, b) уравнения
--d k(x,u, ) + k0(x,u, d--) = 0
dx dx/ dx/
при произвольном сочетании краевых условий первого рода
u(a) = ga; u(b) = дь,
или третьего рода
, / . . du(a)
—к a,u(a), —-—
X dx )
ko(b,u(b),^^u(b^- + аь (u(b))
dx
в граничных точках отрезка [a, b]. Здесь функции k = k(x,u,z), k0= = k0(x,u, z), aa = aa(u) и ab = ab(u) и чпс.1 a ga, gbявляются заданными.
Для выполнения этого задания необходимо:
1) На примере смешанных краевых условий получить слабую формулировку задачи; дать определение пространства решений и тестовых функций МКЭ; дать определение схемы МКЭ с численным интегрированием на основе квадратурных формул Гаусса и Лобатто.
2) Получить алгоритм формирования системы МКЭ.
3) Получить алгоритм приближенного определения производной Гато оператора схемы МКЭ.
4) Определить способ представления исходных данных о решаемой задаче и схеме МКЭ и программно реализовать пункты 4,5.
5) Написать и отладить программу решения схемы МКЭ, пользуясь необходимыми функциями MatLab.
6) Написать и отладить функцию решения тестовых задач и определения порядка точности метода.
7) Написать функцию решения задачи, точное решение которой неизвестно, представляя решение и его производную в графическом виде.
Также на основе написанной программы необходимо:
а) Решить ряд тестовых задач с известным точным решением и определить на основе вычислений порядок точности найденного решения и его производной в зависимости от размера элемента и степени полинома в норме Lfa, b).
б) Решить ряд задач, точное решение которых неизвестно.
Результатом работы является комплекс программ в среде MatLab, направленный на решение краевых задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка вышеуказанным методом, изученным в книгах [1,2,3]. Все написанные функции были тщательно про-тестированы.
В ходе выполнения выпускной квалификационной работы был реализован отлаженный комплекс программ в среде MatLab метода конечных элементов произвольного порядка точности для решения на конечном отрезке [a, b] уравнения
2k(x,u,^+N,UP = 0 dx dx/ dx/
при произвольном сочетании краевых условий первого
u(a) = ga, u(b) = gb,
или третьего рода
k0^b, u(b)
в граничных точка отрезка [а, Ь]. Также были написаны и отлажены функции:
1) Функция решения тестовых задач с известным точным решением и определения порядка точности метода на основе вычислений в зависимости от размера элемента и степени полинома в норме L2(a, b).
2) Функция решения задач, точное решение которых неизвестно и представления полученного решения и его производную в графическом виде.
Во время проведения работы было изучено большое количество теоретического материала, научных статей. На основе решений на различных сетках ряда тестовых задач, приведенных выше, можно сказать что метод конечных элементов является простым, гибким и оптимальным методом и позволяет наиболее эффективно решать нелинейные краевые задачи. Все цели были успешно достигнуты, тесты показали точность формул и доказали, что написанные программы являются надежными и эффективными.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
