Тема: ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ МЕМБРАНЫ

Задачи на собственные значения возникают в связи с решением важных научно-технических задач. К подобным задачам относятся задачи конструирования летательных аппаратов, надводных и подводных судов, расчета на прочность строительных конструкций. Математически задача на собственные значения сводится к нахождению собственных значений и собственных функций дифференциального оператора, заданного в области сложной формы. В настоящей работе изучаются задачи на собственные значения для эллиптического оператора второго порядка в многоугольных областях, имеющих вырезы. Исходные задачи аппроксимируются методом конечных разностей на равномерной сетке. Целью работы является экспериментальное исследование погрешности метода конечных разностей в зависимости от формы области.
В разделе 1 дается вывод общего уравнения колебаний мембраны. В разделе 2 с помощью метода разделения переменных получена постановка дифференциальной задачи, описывающей собственные колебания мембраны с жестким закреплением на части границы. В разделе 3 вводится разностная аппроксимация краевой задачи для дифференциального оператора. В разделе 4 строится разностная аппроксимация дифференциальной задачи на собственные значения с однородными граничными условиями Дирихле и Неймана. В разделе 5 приводится программная реализация разностной задачи на собственные значения. В разделе 6 выведена формула, позволяющая вычислять порядок сходимости приближенного собственного значения, полученного по методу конечных разностей, в зависимости от шага сетки. В разделе 7 описываются проведенные численные эксперименты и полученные результаты. В заключении приведены основные результаты работы и выводы из проведенных исследований.
Вывод уравнения колебаний мембраны проводился с помощью книг [1,2,8]. Многочисленные приложения задач на собственные значения изучены в книгах [1-3,7,8]. Сеточные методы решения дифференциальных краевых задач и дифференциальных задач на собственные значения исследовались в книгах [4-6].
Купить

В работе изучаются собственные колебания мембраны сложной формы, закрепленной на части границы, а на оставшейся части границы свободной. Для решения задачи применяется метод конечных разностей. Построена разностная схема для аппроксимации задачи на собственные значения с однородными граничными условиями Дирихле и Неймана. Разработан алгоритм построения разностной сетки и системы уравнений метода конечных разностей. Для реализации алгоритма составлена компьютерная программа, с помощью которой проведена серия численных экспериментов. Численные расчеты показали, что скорость сходимости приближенных собственных значений, полученных по методу конечных разностей, равна двум, если область занимаемая мембраной выпукла и совпадает с сеточной областью. Скорость сходимости приближенных собственных значений меньше двух в случае, когда область не выпукла или исходная область не совпадает с сеточной областью.
Купить