Введение 2
1. Постановка задачи и ее аппроксимация 4
2. Некоторые результаты теории седловых задач с ограничениями 8
3. Применение общей теории к решению седловой задачи 11
4. Итерационный метод(первый) решения задачи 15
5. Итерационный метод(второй) решения задачи 20
6. Результаты вычислительных экспериментов 24
7. Выводы 31
8. Список использованной литературы 33
9. Программный комплекс 35
Задачи оптимального управления системами, описываемыми уравнениями с частными производными, представляют собой весьма сложный объект численного анализа. Основная трудность этих задач связана с отсутствием гладкости решения и множителей Лагранжа при использовании функции Лагранжа для решения этих задач. В связи с этим, как правило, используются методы регуляризации.
Как правило, в таких задачах присутствуют ограничения на функции управления и состояния системы. Первые характеризуют, например, ограниченные возможности аппаратуры, используемой для управления системой. В свою очередь, ограничения на функцию состояния диктуются собственно физикой процесса. Так, например, при управлении процессом охлаждения (или нагревания) теплопроводного тела требуется ограничивать скорость изменения температуры, чтобы тело не перешло в другое фазовое состояние. В данной работе рассмотрена задача управления системой, описываемой уравнением теплопроводности, при ограничениях на производную по времени от функции состояния, что соответствует ограничению на скорость изменения температуры. Наличие ограничений не только на функцию управления, но и на функцию состояния системы существенно усложняет проблему численного решения соответствующей задачи. Это усложнение касается как вопросов построения приближенной задачи с высокой точностью аппроксимации, так и вопросов конструирования эффективных численных алгоритмов.
В работе проведено исследование задачи оптимального управления системой, описываемой параболической краевой задачей с ограничениями на производную по времени от функции состояния, а именно: построена сеточная аппроксимация и обоснована ее однозначная разрешимость; построена соответствующая сеточная седловая задача с ограничениями; исследована сходимость итерационного метода решения седловой задачи; численно оптимизированы итерационные параметры на ряде модельных задач. В качестве модельных задач взяты задачи с одномерным и двумерным параболическими уравнениями состояния. Результаты теоретических исследований сопровождены анализом тестовых расчетов.
Предложены и численно исследованы алгоритмы решения параболической задачи оптимального управления, основным достоинством которого является простота численной реализации. Именно, в связи с использованием явной аппроксимации уравнения теплопроводности и специальным выбором седловой задачи, все вычисления производятся по явным формулам.
В ходе вычислительных экспериментов выяснилось, метод (27) обладает более высокой скоростью сходимости, чем метод (26), тем самым метод (27) более эффективен.
Результаты численных экспериментов показали, что итерационный метод (26),сходится и при р немного превосходящего 2(1 — yr)(V1 + r — r)2. Однако, скорость сходимости при этом замедлялась, поэтому разумно выбирать параметр р в пределах 0 < р < 2(1 — Jr)(/1+ r — r)2. При р намного больше значения 0 < р < 2(1 — Jr)(y/1+ r — r)2итерационный метод расходился.
Теоретическое достаточное условие сходимости итерационного метода (27) 0 < р < 1. Но по результатам эксперимента получили, что и при р > 1 сходимость метода есть, но при таком р скорость сходимости ухудшается. Поэтому лучше брать параметр р в пределах от 0 до 1.
Из выше описанных результатов получаем практическую оценку скорости сходимости первого и второго методов:
для первого метода одномерный и двумерный случаев взяв параметр r близкий к 1, и сдвигая параметр р от середины допустимого для него интервала к правому концу, скорость сходимости улучшалась; брав rблизкий к середине интервала (0,1) и двигая р от середины допустимого для него интервала к нулю, скорость сходимости улучшалась; беря rблизкое к нулю и сдвигая р от середины допустимого интервал к нулю, скорость улучшалась.
Для второго метода одномерный и двумерный случаев
взяв параметр rблизкий к 1, и сдвигая параметр р от середины допустимого для него интервала к правому концу, скорость сходимости ухудшалась; брав rблизкий к середине интервала (0, 1) и двигая р от середины допустимого для него интервала к правому концу, скорость сходимости улучшалась; беря rблизкое к нулю и сдвигая р от середины допустимого интервала к нулю, скорость ухудшалась.
По результатам вышеописанных экспериментов выяснилось, что оптимальные параметры р для первого одномерного и двумерного методов рас-положены в левой половине допустимого интервала параметра р и его середине.
Оптимальные параметры р для второго одномерного и двумерного методов расположены в правой половине допустимого интервала р.
Исследуя поведение скорости сходимости итерационных методов при наличии и отсутствии активных ограничений, получили при отсутствии активных ограничений, скорость сходимости методов не менялась. При наличии активных ограничений, скорость сходимости методов улучшалась.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
