Введение 4
1 Обзор предметной области 16
1.1 Квантовый компьютер 16
1.1.1 Основные блоки 16
1.1.2 Особенности 21
1.1.3 Кодирование состояний 24
1.1.4 Квантовое шифрование 24
1.1.5 Реализация гейтов 25
1.1.6 Подходи! К вычислениям 26
1.1.7 Физические реализации квантового компьютера 27
1.1.8 Рабочие прототипы квантовых компьютеров 29
1.2 Оптимальное управление квантовыми системами 32
1.2.1 Модели квантовых систем 32
1.2.2 Схемы управления 33
1.2.3 Управляемость квантовых систем 36
1.2.4 Интегрирование динамики квантовых систем 38
1.2.5 Методы вычисления операторных экспонент 40
1.2.6 Методы построения управлений 41
1.2.7 Принцип ландшафта 53
Заключение к главе 54
2 Метод D-MORPH и поправки к нему 55
2.1 Модель квантовой системы с управлениями. Постановка задачи . 55
2.2 Метод D-MORPH 61
2.3 Вывод поправок. Метод 1 66
2.4 Вывод поправок. Метод 2 70
2.5 Формальное сравнение методов 73
Заключение к главе 75
3 Численный эксперимент 76
3.1 Система для эксперимента 76
3.2 Сравниваемые методы 78
3.3 Структура экспериментов 79
3.4 Результаты экспериментов 84
3.4.1 Гейт CNOT 85
3.4.2 Гейт SWAP 90
3.4.3 Гейт VSWAP 95
3.4.4 Гейт Н2 100
3.5 Анализ результатов 105
Заключение к главе 106
Заключение 106
Приложение 1. Основные сведения из квантовой механики 108
Список литературы
Купить

Квантовый компьютер — физическое устройство, работающее по законам квантовой механики, которое способно хранить, преобразовывать и выводить квантовую и классическую информацию используя законы квантового мира. Считается, что полностью функционирующий и обладающий большим объемом квантовых регистров квантовый компьютер позволит решить многие из проблем, которые принципиально невозможно за приемлемое время решить на классическом компьютере [8-10]х, например, моделирование больших квантовых систем за полиномиальное время [80], быстрое моделирование свертки белков для лечения нейродегенеративных болезней [171] и улучшение методов машинного обучения [267]. Благодаря способности квантовых компьютеров эффективно решать целые классы важных для всего человечества задач, область квантовых вычислений привлекает к себе много научного внимания и является активно развивающимся направлением в науке на сегодняшний день и будет оставаться таковым долгое время.
Однако, это направление является и довольно трудным для освоения и исследования, хотя бы из-за того, что квантовая механика — это механика, которую не поймешь на уровне повседневных (то есть “классических”) ощущений и опыта [2,11], механика, приводящая к нескольким интересным и неожиданным для непосвященного наблюдателя эффектам в области вычислений (например, внутренняя параллельность, квантовый туннельный эффект и запрет клонирования информации [8]).
Квантовый компьютер состоит из нескольких логических блоков: кубиты, квантовые логические операции (гейты), измерительные приборы и классический компьютер [8-10]. Кубит — это квантовый бит, аналог классического бита, который может быть в двух “основных” состояниях (0 и 1) и еще во множестве других, находящихся как бы между ними. Квантовый гейт — это логическая
В то же время научным сообществом признается существование многих задач, которые лучше решаются на классических компьютерах [13], например, задача вычисления результата последовательного применения некоторой функции некоторое число раз к самой себе [117].
операция, применяемая к одному или нескольким кубитам для изменения их состояния. Измерительные приборы служат для считывания значений кубитов как в процессе вычислений, так и в конечный момент; однако, в отличие от классического случая, каждое измерение кубита приводит к необратимым изменениям его состояния, с чем необходимо каждый раз считаться. Наконец, классический компьютер необходим для управления всеми измерительными при-борами, для управления процессом вычислений и для хранения классического результата вычислений.
На сегодняшний день имеется много жизнеспособных физических реализаций кубита с возможностью управления его состоянием, основанных на эффектах ядерного магнитного резонанса [247], на использовании неоднородностей кристаллических решеток в алмазах [101], на использовании заряженых ионов в электромагнитных ловушках [198], на использовании холодных нейтральных атомов [263], на использовании сверхпроводящих контуров [168], на использовании квантовых точек [195] и на использовании молекулярных внутренних степеней свободы [200]. Однако все эти реализации предполагают использование сложной аппаратуры и создания специальных условий для вычислений, что крайне сложно на практике.
Алгоритмы, созданные специально для квантового компьютера, существенно отличаются от их классических аналогов по форме и внутренней логике исполнения из-за различия в законах, согласно которым работает аппаратура, исполняющая эти алгоритмы. Например, квантовый бит (так называемый кубит) может хранить в некотором смысле большее количество информации, чем классический бит [8-10]. Далее, благодаря принципу квантовой интерференции и особенностям процесса квантовых измерений можно выполнять одновременно несколько различных программ [152] на одном квантовом процессоре (говоря классическим языком, на одном ядре), причем действительно параллельно без переключения контекстов выполнения программ. К тому же благодаря запрету клонирования (копирования) произвольного квантового состояния, при передаче конфиденциальной квантовой информации между двумя сторонами обмена, третьей (подслушивающей) стороне в принципе невозможно перехватить эту квантовую информацию без ее искажения и, следовательно, без риска быть обнаруженной двумя остальными сторонами [8-10,191,279].
Кроме перечисленных выше удивительных особенностей, имеется еще одна, иногда считающаяся самой удивительной и полезной, особенность квантовых вычислений, — квантовая запутанность, — возникающая в результате корреляции квантовых состояний нескольких квантовых систем [2,8-11]. Суть квантовой запутанности проявляется в том, что при измерении состояния одной системы, которая находилась в корреляции с другой системой в предыдущий момент времени, другая система также изменяет свое состояние мгновенно, как будто производится и ее измерение, причем не важно как далеко эти две системы находятся друг от друга в момент измерения, пусть хоть в разных концах Все-ленной, что очевидно нарушает принцип предельности скорости света [8-10,42], но не препятствует наблюдению этого эффекта на практике.
Наряду с удобными для вычислений особенностями квантового мира, имеются и особенности, приводящие к определенным сложностям. Например, из- за принципиальной разрушительности процесса квантовых измерений (то есть считывания квантовой информации), невозможно полностью восстановить ин-формацию, которая хранилась в квантовой системе до момента ее измерения; хуже того, к моменту завершения процесса измерения информация, которая хранилась в квантовой системе, меняется вероятностным образом [8-10], что находится в резком контрасте с процессом измерений в классических вычислениях, где процесс измерения не влияет на хранящуюся информацию.
Имеется еще одна сложность прикладного характера, с которой столкнется все мировое сообщество после появления полностью функционирующего квантового компьютера — теоретически доказано, что мощные квантовые компьютеры будут способны очень быстро взламывать все современные методы шифрования информации [8-10]. Это потребует быстрого перестроения всех под-ходов и систем шифрования информации, что является хоть и непростой, но выполнимой задачей, благо теоретики уже давно разработали методы квантовой криптографии и безопасной передачи ключей шифрования [129].
Вышеперечисленные особенности квантовых вычислений позволяют создавать такие квантовые программы, которые будучи исполнены на мощных квантовых компьютерах будут превосходить по скорости самые совершенные классические алгоритмы. А именно, некоторые задачи, которые допускают решение на классических компьютерах лишь с помощью алгоритмов экспоненциальной сложности, на квантовых компьютерах могут быть решены с помощью алгоритмов полиномиальной сложности [8,13,276], что, очевидно, чрезвычайно сократит время на их решение и, как ожидается, позволит перейти к решению более трудоемких задач, о которых невозможно было ранее и помыслить.
Среди самых известных алгоритмов в области квантовых вычислений, показывающих ускорение по сравнению с классическими аналогами можно выделить: факторизация чисел алгоритмом Шора за полиномиальное время [276], моделирование квантовых феноменов за полиномиальное время [80] и быстрый поиск объектов в неструктурированной базе данных алгоритмом Гровера [8]. Другой известный квантовый алгоритм, который используется как часть многих других квантовых алгоритмов — квантовое преобразование Фурье, которое выполняется экспоненциально быстрее своего классического аналога [335].
Также имеются менее известные алгоритмы, например алгоритм перемножения и накопления чисел [150], где умножение выполняется за O(3 log2n+ 1) операций, an — число кубитов (лучший классический алгоритм требует O(nlog2n) операций). Далее, имеется алгоритм для более быстрого поиска собственных значений гамильтоновых матриц [251]. Из области моделирования квантовых феноменов можно выделить задачу моделирования термодинамических свойств сложных фермионных систем, которые недоступны классическим компьютерам [113,114].
Стоит заметить, что вышеупомянутое превосходство квантовых компьютеров над классическими будет наблюдаться только при использовании квантового компьютера с процессором, состоящим из примерно 107 кубитов, которые можно будет измерять отдельно, и при наличии возможности создания квантовой запутанности между произвольными кубитами [136]. К тому же ошибка в реализации отдельных квантовых гейтов должна быть меньше 10 3 10-4[17]. На сегодняшний день подобных вычислительных устройств пока не построено и от научного сообщества потребуется еще много усилий для решения практических проблем и преодоления различных преград на пути к построению подобного компьютера.
В виду практических сложностей при построении квантовых компьютеров, на данный момент имеется лишь крайне малое количество работающих прототипов квантовых компьютеров (D-Wave [125], IBM [244], Google [243]) и они обладают крайне малым количеством кубитов и ограниченным набором операций. Поэтому до появления практичных и широкодоступных квантовых компьютеров почти все исследования в области квантовых алгоритмов производятся на различных квантовых симуляторах [186,205,252] с использованием специальных языков программирования для них (Q^, QCL, qGCL, QPL...) [245,296,328], в которых имеются компиляторы для разных типов оборудования [295].
Независимо от количества теоретически развитых квантовых алгоритмов и наличия программных симуляторов квантовых вычислений, с физической точки зрения для их реализации на квантовом компьютере необходимо решить задачу квантового управления — перевести квантовую систему, лежащую в основе квантового процессора и квантовой памяти, из одного состояния в другое таким образом, чтобы изменение состояния соответствовало квантовому логическому алгоритму [8-10].
В общем случае управление квантовыми системами — процесс воздействия какого-либо рода на квантовую физическую систему с целью реализации определенной динамики (поведения) этой системы для достижения желаемого со-стояния в конечный момент времени. Решить задачу управления — значит найти управление, реализующее необходимую ученому динамику квантовой системы. Управление квантовыми системами используется во многих областях науки, в частности, как уже было отмечено, задача управления квантовыми системами является основной задачей в области квантовых вычислений [15,27,46, 102,118,126,137,138,141-144,146,147,157,159,165,176,177,185,186,192,193,195, 196,204,220-223,249,253,254,258,259,268,273,274,282,292,311,312,330,332,333]. Реализовать определенное квантовое вычисление — значит реализовать необходимые, заранее определенные переходы между состояниями квантовой системы. Такие заданные переходы реализуются в свою очередь через определенные управляющие воздействия на квантовую систему, которые и вызывают желаемые переходы между состояниями. С алгоритмической точки зрения такие переходы представляют собой квантовые логические гейты, например гейт логического отрицания NOT или гейт преобразования Фурье. Таким образом, вышеописанная задача квантового управления представляет собой основную задачу в рамках теории квантовых вычислений, что приводит к ее неугасающей по сей день актуальности.
Дополнительно к основной задаче управления могут ставиться различные дополнительные цели, которых требуется достичь к моменту окончания процесса управления. Например, можно потребовать перевести систему в определенное состояние и одновременно сделать это с минимальными затратами энергии на управление [3,71,283,284], или произвести этот переход за минимальное время [15,20,30,46,69,259,273,285,287,290,291,293,294], или перевести систему в конечное состояние максимально робастно относительно вариации параметров системы [97,98,119-121,127,180,222,233,303] или обеспечить эволюцию систему по заданному пути [79,116] или возвращаться в начальное состояние в определенные моменты времени [248] или оптимизировать другую цель важную в конкретной задаче. При включении в задачу подобных и других целей управления мы уже сталкиваемся с теорией оптимального управления, которая также привлекает к себе много внимания со стороны научного сообщества, так как на практике всегда необходимо максимизировать или минимизировать какую-нибудь цель — в общем случае в данных задачах имеется определенный заданный критерий качества управления, выраженный через некоторый функционал J[с], зависящий от функций управления с, который требуется оптимизировать, т. е. найти его максимальное или минимальное значение по управлениям, что означает, что такое минимизирующее или максимизирующее управление является наилучшим в данной конкретной задаче с точки зрения заданной цели. В задачах квантовых вычислений теория оптимального управления находит применение в первую очередь для наиболее точной реализации квантовых гей-тов [27,102,126,138,258]. Граница точности определяется как точность, начиная с которой можно применять квантовые коды коррекции ошибок [8].
Стоит учитывать, что в процессе управления реальной квантовой системой на нее постоянно воздействуют окружающие объекты, не входящие в рассматриваемую систему, что приводит к нежелательному и непредсказуемому изменению состояния системы, которая подвергается управлению [216,255,281]. Это означает, что система больше не эволюционирует под влиянием унитарной динамики, а демонстрирует сложную динамику с передачей энергии и ин-формации окружению, причем неконтролируемо и необратимо. Такое связывание, в случае кубита, чаще всего приводит к его релаксации, то есть потере информации. Поэтому теория оптимального управления в рамках квантовых вычислений применяется и для сопротивления разрушительному влиянию на квантовую систему окружающих шумов и других квантовых систем [144,147, 159,165, 216, 222, 223, 237, 255, 275, 281, 289, 291]. Методы теории оптимального управления можно также комбинировать с методами динамического развязывания с окружением, суть которых состоит в применении последовательности мгновенных импульсов к системе для подавления взаимодействия с окружением [25,85,100,224,242,304,316,329].
Кроме этих задач теория оптимального управления в рамках квантовых вычислений применяется для приготовления начального квантового состояния [23, 40,44,67,104,265,305,307-310,312,313], для подавления деструктивного воздействия измерений или использования измерений для содействия эволюции системы [278,318] и для генерации запутанности [141,196,220,274,292,311,332,333], так как квантовая запутанность является основным квантовым феноменом, который, как считается, обеспечит вычислительное превосходство квантовых вычислений над классическими [8].
Еще одна проблема, с которой сталкиваются в квантовых вычислениях на практике и которую можно решить с помощью теории оптимального управления, состоит в том, что физические реализации кубитов часто являются более чем двумерными системами и поэтому состояние кубита “утекает” в третье и последующие состояния, с чем необходимо бороться [27,102,137,185,206,254,302].
К сожалению, на практике всегда в задаче оптимизации реальных квантовых систем имеется более одного критерия качества управления, которые необходимо оптимизировать, причем часто эти критерии противоречат друг другу. К тому же в таких случаях нельзя сказать, что совместная оптимизация всех критериев приведет к решению, оптимизирующему каждый отдельный критерий качества, однако, можно построить множество Парето-оптимальных управлений [78,156,204,299]. Стоит отметить, что в подобных задачах на практике имеется некоторый порог оптимальности, преодолеть который можно только физическим перестроением управляемой квантовой системы, что дает вклад в общую сложность теории оптимального квантового управления.
Говоря общим языком, любая математическая задача оптимального управления начинается с выбора математической модели для описания динамики реальной квантовой системы и выбора схемы оптимизации.
Квантовые модели бывают бесконечномерными и конечномерными [31,75], замкнутыми и открытыми [8-10]. Подавляющее количество научных работ используют конечномерные замкнутые модели, в частности уравнение Шредингера или уравнение Лиувилля [8-10,59,64,76,179], которые в задачах квантовых вычислений приводят к уравнениям на группах Ли, в то время как для описания открытых квантовых систем используются более сложные и приближенные модели: отображения Крауса [225], основные уравнения в форме Линдблада [231] и стохастические основные уравнения [164].
После выбора математической модели квантовой системы построение оптимального управления можно проводить одним из следующих способов.
1. Управление в открытом цикле, где только с помощью некоторого алгоритма на основе описания модели системы находится оптимальное управление [24, 35,105-107,182,201,277].
2. Управление в замкнутом цикле, где итерационно изменяют управление на основе измерения квантовой системы так, чтобы приблизиться к цели управления [24,111].
3. Управление с обратной связью в реальном времени, где в отличие от предыдущего вида в качестве измерительного прибора используется не классическое устройство, а вспомогательный квантовый контроллер [23,164,196,215, 321,324,327].
4. Адаптивное гибридное оптимальное управление (Ad-HOC), где в открытом цикле градиентным алгоритмом находят почти оптимальное управление, а затем оценивают его точность и изменяют его с помощью неградиентного алгоритма в рамках замкнутого цикла [127].
Первые две схемы управления используют самое простое когерентное управление квантовыми системам, то есть лазерные импульсы и электромагнитные поля, третья схема использует один из видов некогерентного управления — управление с помощью квантовых систем [41,51,52,54,216,281], кроме которого можно использовать, например, управление с помощью невыборочных измерений [132,188,196,228,232,318,321].
Наиболее популярным и простым способом является управление в открытом цикле, при котором для решения задачи построения оптимального управления требуется решить следующие задачи.
1. Определить имеется ли у квантовой системы полная управляемость, то есть можно ли реализовать произвольное состояние с помощью имеющихся в распоряжении управляющих ресурсов, для чего можно использовать критерий алгебр Ли [16,108] или критерий графов [82,241].
2. Выбрать метод для интегрирования динамики квантовой системы: методы Рунге-Кутты [22,130,162,207], методы Магнуса [57,87,161,170], методы разложения [14,18, 32,33,36-39,47-50, 55-57,62,63, 90,91,133,140,179,183, 235, 239,269] или метод канонических координат второго рода [95].
3. Выбрать метод для приближенного построения матричных экспонент: методы Тейлора и Чебышева [64,325], метод Паде [77], метод подпространства Крылова [64], метод координат второго рода [95], метод матриц малого ранга [94] или метод разделения вещественной и мнимой частей функции Гамильтона H[55,64].
4. Выбрать метод оптимизации, который построит оптимальное управление: аналитический [15,46,68,71,72,108,112,273] или численный градиентный [52, 53,83,86,92,115,145,158,163,173,179,181,192-194,199,200,204,209,219,221, 257,266,272,314,320,326] или численный неградиентный [35,121,218,238,249, 258,330] или может быть метод машинного обучения [97,98,119,120,138,214] или гибридный метод [142]. В этом поможет следующий шаг.
5. Проверить условия принципа ландшафта [43,122,123,166,226,227,230,246, 256,257,262,323,334], выполнение которых свидетельствует о возможности применения простых градиентных локальных оптимизационных методов в данной задаче.
Конечно же, в большинстве случаев используются численные методы (которые основаны на дискретизации управлений, например, с помощью кусочно-постоянных управлений или методов Фурье), так как аналитические методы применимы только для систем малой размерности, а среди численных методов градиентные методы показывают высокую эффективность и точность в достижении целей управления. Среди всех успешных градиентных методов особого внимания заслуживает метод D-MORPH [158, 204, 257] за счет того, что он не требует высоких затрат на вычисления, способен преодолевать незначительные локальные оптимумы и давать высокоточные оптимальные управления.
Все популярные оптимизационные методы реализованы в различных программных продуктах: пакет DYNAMO [192] в среде Matlab для построения оптимального управления градиентными методами, библиотека QuTiP[167] для языка Python, пакет OCTOPUS [29], который включает как градиентные, так и неградиентные методы, пакет SPINACH [160] для Matlab для задач оптимального управления в области ядерного магнитного резонанса и универсальный программный пакет РЕЕТ [157] в Matlab, включающий методы квантового управления открытыми системами в условиях шума. Поэтому проведение моделирования задач оптимального квантового управления становится доступно все большему количеству ученых.
Важно понимать, однако, что почти все численные оптимизационные алгоритмы, использующие кусочно-постоянные управления, были выведены в рамках предположения о малости шага At дискретизации управлений по времени для того, чтобы дискретизированные управления (например, заданные в виде кусочно-постоянных функций) наиболее точно соответствовали своим аналитическим версиям и могли изменяться свободно в любой момент времени. В результате такой дискретизации получается, что одно управление описывается уже не одной заданной функциональной формой, а очень большим количеством параметров, которые затем необходимо оптимизировать. Это, в свою очередь, приводит к необходимости работы с системами уравнений очень больших раз-мерностей в рамках процесса оптимизации, что еще более усложняется тем, что задачи управления квантовыми вычислениями сами по себе приводят к системам уравнений большой размерности, заданным на матричных группах Ли, которые довольно трудно решать. К тому же дополнительные сложности возникают из-за необходимости многократного вычисления матричных экспонент от матриц большой размерности при проведении процесса оптимизации в рамках квантовых вычислений, что весьма затратно с точки зрения требуемых для этого вычислительных ресурсов и времени.
Исходя из всего этого, возникает естественное желание либо использовать управления фиксированной функциональной формы с малым количеством параметров, либо же использовать большие шаги для дискретизации управлений в виде кусочно-постоянных функций. Первый путь хоть и выглядит на первый взгляд многообещающим в виду малого количества оптимизируемых параметров, но приводит к большим сложностям при вычислении матриц эволюции квантовой системы (например, придется использовать приближенные формулы Магнуса [57]) и может быть труден для реализации на практике, так как может быть сложно поддерживать заданную функциональную форму управлений. Второй путь выглядит более предпочтительным, так как предполагает использование глубоко развитой теории оптимизации кусочно-постоянных управлений при малом количестве параметров, подлежащих оптимизации, что приведет к сокращению времени, требуемого на ее проведение, и позволит на практике переключать управления не так часто, сохраняя таким образом до-статочно простую форму управлений.
Однако, при всех положительных моментах от использования больших шагов At дискретизации управлений в задачах оптимального управления, стоит понимать, что непосредственное использование таких значений шага At в существующих методах, в частности в методе D-MORPH, будет приводить к большим погрешностям (из-за упомянутого предположения о малости At, использованного при выводе этих методов), которые будут накапливаться из-за итеративного характера численной оптимизации, и, следовательно, будут мешать достижению желаемого результата в поставленной задаче оптимизации. В лучшем случае такие методы будут требовать большего, чем при использовании малых шагов, времени на проведение оптимизации, что, конечно же, крайне нежелательно в любом случае.
Эти факты наводят на соображения о способе возможного улучшения подобных алгоритмов при использовании больших шагов At дискретизации управлений — повторить весь процесс формулировки и вывода оптимизационных алгоритмов, не используя предположение о малости шага At дискретизации управлений, и, таким образом, получить новые методы, которые будут иметь вид известных численных оптимизационных алгоритмов с дополнительно включенными поправочными членами, учитывающими влияние больших шагов At на точность оптимизации, что теоретически и практически должно привести к сокращению времени на выполнение процесса оптимизации данными методами.
Таким образом, исходя из практической невозможности решения задачи оптимального квантового управления точными аналитическими методами в рамках квантовых вычислений и важности быстрого выполнения численной оптимизации, особенно при различных (не обязательно малых) по величине шагах At дискретизации управлений, целью данной работы было выбрано ускорение крайне популярного алгоритма градиентной численной оптимизации D-MORPH в рамках задачи наиболее точного построения квантовых гейтов за счет использования теоретически более точных формул, учитывающих влияние больших шагов At дискретизации управления.
Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи.
1. Построить аналитический обзор научной литературы в области оптимального управления квантовыми системами с особым акцентом на приложения в области квантовых вычислений.
2. Определить основные направления развития области управления квантовыми системами и используемые на данный момент подходы для решения задач реализации точных квантовых вычислений.
3. На основе имеющихся наработок и широко известных методов Софуса Ли решения задач оптимального управления ввести некоторые поправки в метод D-MORPH, учитывающие структуру гамильтониана системы и величину шага дискретизации управления и, таким образом, улучшающие точность и скорость процесса оптимизации.
4. Провести численные эксперименты из области квантовых вычислений на задачах наиболее точной реализации популярных квантовых гейтов, чтобы подтвердить ожидаемое сокращение времени на численную оптимизацию, особенно при больших шагах At дискретизации управлений, с использованием поправок различных порядков по сравнению с обычным методом D-MORPH без поправок.
Данная работа разделена на три главы и одно приложение. В первой главе приведены основные сведения из области квантовых вычислений и обзор используемых методов для оптимального управления квантовыми системами. Во второй главе приводится математическая формулировка задачи оптимального управления и метода D-MORPH для решения этой задачи и вводятся два новых способа получения поправок к методу D-MORPH для сокращения времени на оптимизацию. В третьей главе приводится описание и результаты вычислительных экспериментов по наиболее точной реализации четырех квантовых гейтов в модельной квантовой системе с помощью полученных в главе 2 поправок к методу D-MORPH первого и второго порядков, и производится выбор лучшего метода (с точки зрения затрат времени) в зависимости от величины шага At. В приложении приводятся основные сведения из квантовой механики, которые используются в теории квантовых вычислений.

Купить