Помощь студентам в учебе
Численное моделирование деформационных динамических процессов в средах со сложной структурой
|
Введение 6
0.1. Способы дискретизации уравнений механики 7
0.2. Способы построения сетки в области интегрирования .... 10
0.2.1. Квадратная регулярная сетка 10
0.2.2. Регулярная сетка из четырехугольников, сопряженная с
границами области интегрирования 12
0.2.3. Нерегулярная треугольная сетка 14
0.2.4. Изменение сетки при деформировании тел 14
Глава 1. Численное решение уравнений упругости 18
1.1. Математическая модель 19
1.2. Выбор системы координат 20
1.3. Обобщение записи дифференциальных уравнений 22
1.4. Спектральное исследование системы 23
1.4.1. Прямая задача 24
1.4.2. Сопряженная задача 26
1.4.3. Нормировка собственных векторов 29
1.4.4. Нулевые собственные значения 29
1.4.5. Матрицы Л, ^, Q-1 30
1.5. Покоординатное расщепление 31
1.6. Разностные схемы 35
1.7. Сеточно-характеристические схемы 39
1.8. Расчет на границе области интегрирования 42
1.8.1. Заданная внешняя сила 44
2
Оглавление 3
1.8.2. Заданная скорость границы 47
1.8.3. Смешанные условия 48
1.8.4. Условия поглощения и симметрии 49
1.8.5. Решение на границе при наличии правой части 52
1.9. Контакт между двумя телами 54
1.9.1. Полное слипание 54
1.9.2. Свободное скольжение 55
1.10. Интегрирование уравнений акустики 56
1.11. Двумерные уравнения упругости 57
1.12. Эйлерова сетка и границы из маркеров 58
Глава 2. Построение нерегулярной треугольной сетки .... 61
2.1. Представление триангуляции в программе 63
2.1.1. Наиболее компактный формат 63
2.1.2. Расширенные структуры данных для ускорения поиска 65
2.2. Триангуляция невыпуклого многоугольника с полостями . . 68
2.3. Оптимальная триангуляция Делоне 74
2.4. Поддержание заданной плотности сетки 77
2.4.1. Сокращение граничных вершин 79
2.5. Обоснование корректности алгоритма 81
2.6. Размеры внутренних треугольников сетки 85
2.7. Допустимые размеры длины граничного ребра 89
2.7.1. Минимальный угол границы тела 91
2.7.2. Обработка треугольников с двумя граничными ребрами 92
2.8. Трудоемкость поиска треугольника 95
2.9. Момент вырождения сетки при движении вершин с постоянной скоростью 97
2.10. Примеры работы алгоритмов 99
Глава 3. Контакт между телами в динамических задачах . 103
Оглавление 4
3.1. Поиск сегментов контактирующих границ 104
3.1.1. Структуры многомерного поиска 105
3.1.2. Триангуляция пространства между телами 106
3.2. Проверка сблизившихся узлов 109
3.3. Несовпадение узлов в контактирующих телах 110
3.4. Примеры расчетов с контактом нескольких тел 113
Глава 4. Интерполяция в треугольнике 121
4.1. Реконструкция полинома заданного порядка 122
4.2. Кусочно-линейная интерполяция 127
4.3. Градиент интерполяционного полинома 130
4.4. Вычисление интеграла полинома в треугольнике 132
4.5. Монотонная квадратичная реконструкция 134
4.6. Борьба с ростом вариации при интерполяции 138
4.7. Сравнение численных методов, использующих регулярную и нерегулярную сетки 140
4.7.1. Выполнение законов сохранения импульса и энергии . . 147
Глава 5. Численный метод для бесструктурных сеток .... 149
5.1. Уравнение переноса 149
5.2. Гиперболическая система уравнений 157
5.3. Сравнение одномерных схем на решении уравнения переноса 160
Глава 6. Распространение упругих волн в массивных породах 167
6.1. Введение 167
6.2. Начальное состояние среды 171
6.3. Граничные условия 173
6.3.1. Поверхности трещин 174
6.4. Примененная неравномерная треугольная сетка 176
6.5. Исследование энергии в области интегрирования 177
6.6. Равномерность распределения полостей 178
Оглавление 5
6.7. Оценка вариации плотности тела со случайным распределением круговых полостей 181
6.7.1. Полости одного размера 182
6.7.2. Случайное распределение размеров полостей 183
6.8. Детали численных экспериментов 185
6.9. Анализ результатов расчетов 187
Глава 7. Распространение волн в перфорированных средах 198
7.1. Двумерная постановка задачи 199
7.2. Трехмерная постановка задачи 201
Глава 8. Высокоскоростной удар по многослойной преграде 209
8.1. Постановка задачи 211
8.2. Изменение скорости и положения шарика со временем .... 214
8.3. Подвижная расчетная сетка 215
8.3.1. Перестройка сетки как задача оптимизации 219
8.4. Учет разрушения материалов 222
8.4.1. Результаты расчетов 226
8.4.2. Увеличение рассчитываемого периода соударения за счет фрагментации 228
Заключение 240 Список использованных источников 243
0.1. Способы дискретизации уравнений механики 7
0.2. Способы построения сетки в области интегрирования .... 10
0.2.1. Квадратная регулярная сетка 10
0.2.2. Регулярная сетка из четырехугольников, сопряженная с
границами области интегрирования 12
0.2.3. Нерегулярная треугольная сетка 14
0.2.4. Изменение сетки при деформировании тел 14
Глава 1. Численное решение уравнений упругости 18
1.1. Математическая модель 19
1.2. Выбор системы координат 20
1.3. Обобщение записи дифференциальных уравнений 22
1.4. Спектральное исследование системы 23
1.4.1. Прямая задача 24
1.4.2. Сопряженная задача 26
1.4.3. Нормировка собственных векторов 29
1.4.4. Нулевые собственные значения 29
1.4.5. Матрицы Л, ^, Q-1 30
1.5. Покоординатное расщепление 31
1.6. Разностные схемы 35
1.7. Сеточно-характеристические схемы 39
1.8. Расчет на границе области интегрирования 42
1.8.1. Заданная внешняя сила 44
2
Оглавление 3
1.8.2. Заданная скорость границы 47
1.8.3. Смешанные условия 48
1.8.4. Условия поглощения и симметрии 49
1.8.5. Решение на границе при наличии правой части 52
1.9. Контакт между двумя телами 54
1.9.1. Полное слипание 54
1.9.2. Свободное скольжение 55
1.10. Интегрирование уравнений акустики 56
1.11. Двумерные уравнения упругости 57
1.12. Эйлерова сетка и границы из маркеров 58
Глава 2. Построение нерегулярной треугольной сетки .... 61
2.1. Представление триангуляции в программе 63
2.1.1. Наиболее компактный формат 63
2.1.2. Расширенные структуры данных для ускорения поиска 65
2.2. Триангуляция невыпуклого многоугольника с полостями . . 68
2.3. Оптимальная триангуляция Делоне 74
2.4. Поддержание заданной плотности сетки 77
2.4.1. Сокращение граничных вершин 79
2.5. Обоснование корректности алгоритма 81
2.6. Размеры внутренних треугольников сетки 85
2.7. Допустимые размеры длины граничного ребра 89
2.7.1. Минимальный угол границы тела 91
2.7.2. Обработка треугольников с двумя граничными ребрами 92
2.8. Трудоемкость поиска треугольника 95
2.9. Момент вырождения сетки при движении вершин с постоянной скоростью 97
2.10. Примеры работы алгоритмов 99
Глава 3. Контакт между телами в динамических задачах . 103
Оглавление 4
3.1. Поиск сегментов контактирующих границ 104
3.1.1. Структуры многомерного поиска 105
3.1.2. Триангуляция пространства между телами 106
3.2. Проверка сблизившихся узлов 109
3.3. Несовпадение узлов в контактирующих телах 110
3.4. Примеры расчетов с контактом нескольких тел 113
Глава 4. Интерполяция в треугольнике 121
4.1. Реконструкция полинома заданного порядка 122
4.2. Кусочно-линейная интерполяция 127
4.3. Градиент интерполяционного полинома 130
4.4. Вычисление интеграла полинома в треугольнике 132
4.5. Монотонная квадратичная реконструкция 134
4.6. Борьба с ростом вариации при интерполяции 138
4.7. Сравнение численных методов, использующих регулярную и нерегулярную сетки 140
4.7.1. Выполнение законов сохранения импульса и энергии . . 147
Глава 5. Численный метод для бесструктурных сеток .... 149
5.1. Уравнение переноса 149
5.2. Гиперболическая система уравнений 157
5.3. Сравнение одномерных схем на решении уравнения переноса 160
Глава 6. Распространение упругих волн в массивных породах 167
6.1. Введение 167
6.2. Начальное состояние среды 171
6.3. Граничные условия 173
6.3.1. Поверхности трещин 174
6.4. Примененная неравномерная треугольная сетка 176
6.5. Исследование энергии в области интегрирования 177
6.6. Равномерность распределения полостей 178
Оглавление 5
6.7. Оценка вариации плотности тела со случайным распределением круговых полостей 181
6.7.1. Полости одного размера 182
6.7.2. Случайное распределение размеров полостей 183
6.8. Детали численных экспериментов 185
6.9. Анализ результатов расчетов 187
Глава 7. Распространение волн в перфорированных средах 198
7.1. Двумерная постановка задачи 199
7.2. Трехмерная постановка задачи 201
Глава 8. Высокоскоростной удар по многослойной преграде 209
8.1. Постановка задачи 211
8.2. Изменение скорости и положения шарика со временем .... 214
8.3. Подвижная расчетная сетка 215
8.3.1. Перестройка сетки как задача оптимизации 219
8.4. Учет разрушения материалов 222
8.4.1. Результаты расчетов 226
8.4.2. Увеличение рассчитываемого периода соударения за счет фрагментации 228
Заключение 240 Список использованных источников 243
В механике деформируемого твердого тела к настоящему времени разработано большое количество моделей [1-5], описывающих поведение сплошных сред, фазовые переходы в них, критерии разрушения и фрагментации тел под действием интенсивной нагрузки, а также континуальные модели развития разрушений.
Часть этих моделей хорошо исследована и не ставится под сомнение, однако вычислить аналитическим образом вытекающие из них следствия можно лишь для бесконечно-малых воздействий и очень простых по форме тел, желательно обладающих различного рода симметриями. Исследование поведения реальных тел со сложной геометрией, подвергающихся значительным внешним воздействиям, приводящим к конечным деформациям, на основании этих моделей выполнить невозможно без привлечения компьютера.
Другая часть моделей призвана описать наблюдаемые явления, такие как формирование сложного вида разрушений возле места сильного удара. Однако ответить на вопрос, действительно ли модель адекватно описывает данное явление невозможно, без проведения ряда компьютерных моделирований, называемых численными экспериментами. К задачам численного исследования стоит отнести и определение зачастую многочисленных пара-метров той или иной модели, которые практически невозможно измерить напрямую.
Успешные попытки выполнения численного моделирования предпринимаются уже почти целый век, и за этот период достигнут существенный прогресс в способах построения эффективных программ численного расчета. Однако часть трудностей, повидимому, носит фундаментальный характер, и их преодоление актуально и сейчас. К ним можно отнести численное исследование многомерных динамических задач, включающее в качестве подзадачи необходимость описания мгновенного состояния тел (введение надлежащей сетки, методы интерполяции и т.д.), подвергающихся значительным деформациям и фрагментации на отдельные части. Не менее важным вопросом остается достижение высокой точности решения за приемлемое время на имеющемся компьютерном оборудовании, а также борьба с нефизичными эффектами, которые не следуют из сформулированной физической модели, а возникают в результате приближенного характера замены законов механики в интегральной или дифференциальной формах конечными соотношениями.
Краткие обзоры-классификации используемых численных методов и видов сеток можно найти в работах [5, 6].
Часть этих моделей хорошо исследована и не ставится под сомнение, однако вычислить аналитическим образом вытекающие из них следствия можно лишь для бесконечно-малых воздействий и очень простых по форме тел, желательно обладающих различного рода симметриями. Исследование поведения реальных тел со сложной геометрией, подвергающихся значительным внешним воздействиям, приводящим к конечным деформациям, на основании этих моделей выполнить невозможно без привлечения компьютера.
Другая часть моделей призвана описать наблюдаемые явления, такие как формирование сложного вида разрушений возле места сильного удара. Однако ответить на вопрос, действительно ли модель адекватно описывает данное явление невозможно, без проведения ряда компьютерных моделирований, называемых численными экспериментами. К задачам численного исследования стоит отнести и определение зачастую многочисленных пара-метров той или иной модели, которые практически невозможно измерить напрямую.
Успешные попытки выполнения численного моделирования предпринимаются уже почти целый век, и за этот период достигнут существенный прогресс в способах построения эффективных программ численного расчета. Однако часть трудностей, повидимому, носит фундаментальный характер, и их преодоление актуально и сейчас. К ним можно отнести численное исследование многомерных динамических задач, включающее в качестве подзадачи необходимость описания мгновенного состояния тел (введение надлежащей сетки, методы интерполяции и т.д.), подвергающихся значительным деформациям и фрагментации на отдельные части. Не менее важным вопросом остается достижение высокой точности решения за приемлемое время на имеющемся компьютерном оборудовании, а также борьба с нефизичными эффектами, которые не следуют из сформулированной физической модели, а возникают в результате приближенного характера замены законов механики в интегральной или дифференциальной формах конечными соотношениями.
Краткие обзоры-классификации используемых численных методов и видов сеток можно найти в работах [5, 6].
Аналитическим образом произведено спектральное исследование матриц коэффициентов системы уравнений теории упругости, выписанной в произвольной прямолинейной системе координат. В компактной форме получены выражения для всех собственных значений этих матриц Л (1.22), их левых собственные векторов П (1.23) и векторов взаимного к ним базиса П-1 (1.24). В предшествующих работах такие выражения были известны только для декартовой системы координат [55,75], а в прочих случаях определялись численно [19,22,72].
В работе предлагается использовать явное представление сеточнохарактеристических схем, основываясь на произведенном спектральном исследовании, поскольку в записи таких схем входят громоздкие выражения относительно Л, П, П-1. В полученной упрощенной записи не требуется решения системы линейных уравнений, обращения и даже перемножения матриц. Полученные выражения приведены к виду, инвариантному относительно размерности пространства (справедливы в 2D и 3D), тогда как запись Л, П, П-1 отлична для двумерного и трехмерного пространств [75]. В результате чего вместе с упрощением программы достижима более высокая скорость ее работы, а также исключаются численные ошибки, связанные с решением возможно обусловленных систем линейных уравнений.
Для граничных узлов помимо явной записи было предложено использовать двухэтапный метод, причем первый этап не зависит от граничных условий, а второй — от порядка аппроксимации. Разделение на этапы чрезвычайно удобно в программной реализации, поскольку позволяет отдельно отлаживать компактные модули, отвечающие только за перенос значений вдоль характеристик с тем или иным порядком точности либо только за корректировку для конкретного граничного условия. Метод требует решения лишь системы из m-линейных уравнений, где т-число выходящих из области характеристик, тогда как классический подход [19,22] требует решения полной системы из n-уравнений, где n-число переменных в задаче.
Приведены явные выражения для учета всех основных типов граничных условий: заданная внешняя сила, заданная скорость движения границы и т. д. А также для двух видов контактных условий на границе раздела двух сред: полное слипание и свободное скольжение.
Предложен алгоритм построения с заданной степенью мелкости нерегулярной треугольной сетки, являющейся подчиненной ограничениям триангуляцией Делоне (constrained Delaunay), в произвольной невыпуклой области с возможно многочисленными внутренними полостями.
В работе предлагается использовать явное представление сеточнохарактеристических схем, основываясь на произведенном спектральном исследовании, поскольку в записи таких схем входят громоздкие выражения относительно Л, П, П-1. В полученной упрощенной записи не требуется решения системы линейных уравнений, обращения и даже перемножения матриц. Полученные выражения приведены к виду, инвариантному относительно размерности пространства (справедливы в 2D и 3D), тогда как запись Л, П, П-1 отлична для двумерного и трехмерного пространств [75]. В результате чего вместе с упрощением программы достижима более высокая скорость ее работы, а также исключаются численные ошибки, связанные с решением возможно обусловленных систем линейных уравнений.
Для граничных узлов помимо явной записи было предложено использовать двухэтапный метод, причем первый этап не зависит от граничных условий, а второй — от порядка аппроксимации. Разделение на этапы чрезвычайно удобно в программной реализации, поскольку позволяет отдельно отлаживать компактные модули, отвечающие только за перенос значений вдоль характеристик с тем или иным порядком точности либо только за корректировку для конкретного граничного условия. Метод требует решения лишь системы из m-линейных уравнений, где т-число выходящих из области характеристик, тогда как классический подход [19,22] требует решения полной системы из n-уравнений, где n-число переменных в задаче.
Приведены явные выражения для учета всех основных типов граничных условий: заданная внешняя сила, заданная скорость движения границы и т. д. А также для двух видов контактных условий на границе раздела двух сред: полное слипание и свободное скольжение.
Предложен алгоритм построения с заданной степенью мелкости нерегулярной треугольной сетки, являющейся подчиненной ограничениям триангуляцией Делоне (constrained Delaunay), в произвольной невыпуклой области с возможно многочисленными внутренними полостями.