Понятие атома, появившееся в задачах качественного анализа и классификации динамических систем, находит применение в самых разных разделах современной комбинаторики и маломерной топологии, теории узлов [1—12]. Понятие атома в гамильтоновой и симплектической геометрии и топологии было введено А.Т. Фоменко [3] и используется для лиувиллевой классификации интегрируемых гамильтоновых систем [8].
Задача классификации высотных атомов была сформулирована А.Т. Фоменко. Изучению этого класса атомов посвящены работы В.О. Мантурова [2], И.М. Никонова и И.В. Волчанецкого [12], И.М. Никонова [10], В.А. Трифоновой [11]. При этом в работах [12,10,11] получены классификации высотных атомов, группы собственных симметрий которых транзитивно действуют на ребрах [12], или вершинах [10], или белых кольцах [11] атома. Высотные атомы играют важную роль в теории узлов. Оказывается, что все узлы могут быть закодированы (неоднозначно) высотными атомами.
А.А. Ошемковым в работе [16] было введено понятие /-графа. Выяснилось, что с помощью /-графов удобно описывать перестройки торов Лиувилля интегрируемых гамильтоновых систем, а также легко реализовать алгоритм перечисления таких перестроек. И.М. Никонов [10] обнаружил, что высотность атома эквивалентна ориентированной вложимости его /-графа в плоскость (теорема 1).
В разделе 2 настоящей работы доказывается, что все высотные атомы являются ориентируемыми (утверждение 1).
В разделе 3 устанавливаются два новых критерия высотности атома в терминах его /-графа (теорема К-1 и теорема К2). Хотя все критерии высотности по сути эквивалентны, они весьма полезны в разных ситуациях для доказательства высотности различных классов атомов. Найдены препятствия к ориентированной вложимости /-графа в плоскость, доказана их минимальность (утверждение 2).
В разделе 4 приводится новое доказательство гипотезы В. А.Васильева [21] о критерии планарности графа с вершинами степени 4 и дополнительной крестовой структурой. Впервые гипотеза была доказана В.О.Мантуровым [22].
Автор благодарен А.Т. Фоменко за постановку задач и постоянное внимание к работе. Автор также благодарит Е.А.Кудрявцеву и И.М.Никонова за полезные обсуждения и ценные замечания.
