ВВЕДЕНИЕ
ПЕРВАЯ ГЛАВА. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ :ПРОСТРАНСТВА ШВАРЦА И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ СВОЙСТВА
2. Преобразование Фурье и его свойства
3. Псевдо-дифференциальные операторы: определение и теория символов
4. Пространства Соболева
ВТОРАЯ ГЛАВА. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ПСЕВДО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА В
ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
1. Интеграл типа Коши
2. Факторизация эллиптического символа
3. Псевдо-дифференциальные уравнения в полупространстве
4. Постановка краевых задачах для псевдо-дифференциальных уравнений
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
Псевдо-дифференциальные операторы (ПДО) и интегральные операторы Фурье (ИОФ) являются обобщением дифференциальных операторов в частных производных. Теория таких операторов активно развивается с 60-х годов прошлого века. Целый ряд результатов современной теории дифференциальных уравнений может быть получена только в рамках теории ПДО и ИОФ. В некоторых случаях применение теории ПДО и ИОФ дает более простые доказательства по сравнению с классическими методами. Ознакомление с теорией ПДО и ИОФ может быть полезно в виду того, что оно дает общий, целостный подход ко многим вопросам анализа. Теория ПДО и ИФО широко представлена в монографической литературе (см. список в конце). По большей части указанные книги дают фундаментальное изложение предмета и рассчитаны на подготовленного читателя.
Цель данного пособия выделить из большого количества материала самое необходимое и ознакомить читателя/слушателя с основами теории на языке и в объеме доступном студентам 4-6 курсов.
При написании пособия автор попытался сохранить неформальную специфику устной речи. Текст условно делится на формальную и неформальную части; последняя набрана наклонным шрифтом и с дополнительным отступом слева. К формальной части относятся определения, формулировки, доказательства и прочие строгие рассуждения, т. е. то, что при чтении лекций подробно записывается на доске. К неформальной части относится все остальное: замечания, пояснения, комментарии, напоминания, мотивировки тех или иных результатов, т. е. все то, что с одной стороны носит необязательный и одноразовый характер, а с другой делает изложение более живым и доступным.
Как это обычно бывает, разные авторы используют разные обозначения. Мы будем придерживаться обозначений, которые согласуются с [Х, Х1, Х3, GS], иногда позволяя себе по ходу изложения не объяснять некоторые общепринятые обозначения, смысл которых понятен из контекста. На всякий случай, в конце приведен достаточно полный список используемых обозначений.
В этой работе мы рассмотрели пространства Шварца, а затем ввели определение обобщенных функций и их свойств через преобразование Фурье и его характеристики. Чтобы войти в важный предмет (псевдо- дифференциальный оператор) и теорию символов для этих операторов, которые играют важную роль в нашем определении пространств Соболева, эллиптические символы, которые играют большую роль в решении граничных задач псевдо-дифференциального уравнения. наконец, удалось определить картину, существование и единство решения этих задач в положительной полуплоскости пространства Rn.
До сих пор молчаливо подразумевалось, что речь идет о ПДО на гладких поверхностях (многообразиях) или в областях, ограниченных гладкими
поверхностями. Однако в математической физике, в механике и электродинамике сплошной среды, в различных разделах теории дифференциальных уравнений с частными производными, в теории приближенных методов возникают многочисленные задачи на негладких поверхностях и в областях с негладкой границей. Важный класс таких объектов составляют области с кус очно гладкой границей .
