МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛОКАЛЬНО-НЕРАВНОВЕСНОГО ПЕРЕНОСА ТЕПЛА

Введение 3
1. Классическая теория теплопроводности 7
1.1. Уравнение баланса энергии 8
1.2. Локально-равновесное уравнение теплопроводности 9
1.3. Парадокс классической теории теплопроводности 10
2. Локально-неравновесная модель переноса тепла 12
2.1. Волновое уравнение теплопроводности 13
2.2. Механическая аналогия локально-неравновесной теплопроводности.. .15
2.3Численный метод решения 17
3. Возможности использования механической модели для анализа
закономерностей волнового теплопереноса 19
3.1. Интерпретация динамики цепочки осцилляторов в терминах
теплопереноса 20
3.2. Визуализация конечности скорости распространения тепла 25
3.3. Влияние параметров модели на скорость распространения тепла 27
Заключение 34
Список использованной литературы 35

Купить

Перенос энергии и вещества широко наблюдается в природе, технике и технологиях. Поэтому изучение процессов переноса энергии и вещества с целью построения теории переноса и установления закономерностей их протекания имеет исключительно важное и фундаментальное, и прикладное значение.
Феноменологическая теория процессов переноса строится на основе классической термодинамики необратимых процессов [1]. Общеизвестно, что опираясь на принцип локального термодинамического равновесия и принцип локальности, классическая термодинамика необратимых процессов приводит к структурно идентичным уравнениям теплопереноса и диффузии параболического типа, которые локальны как во времени, так и в пространстве, поскольку эти уравнения не содержат каких-либо характерных пространственных и временных масштабов. Поэтому классическая теория процессов переноса является локально-равновесной. Несмотря на то, что эта теория находит самое широкое применение в научной, инженерной и расчетной практике [2 - 3], она приводит к ряду известных парадоксов, например, к бесконечно большой скорости распространения тепла по теплопроводящей среде.
Полемика о характере распространения возмущений температуры ведется уже давно - с середины прошлого столетия.
В большом цикле работ разных авторов (см., например, [4 - 6] и цитированные в них литературные источники) показано, что, оставаясь в рамках параболического приближения уравнения теплопереноса, устранить парадокс о бесконечно большой скорости распространения тепла можно введением определенных (степенных) зависимостей коэффициента теплопроводности теплопроводящей среды от температуры. При этом перенос тепла в нелинейных средах по-прежнему исследуется на основе локального градиентного закона теплопроводности Фурье. Такой подход позволил получить ряд интересных результатов. В [4] показано, например, что распространение тепла в полупространство при заданной на его границе температуре имеет вид бегущей волны, распространяющейся от границы вглубь вещества не с бесконечной, а с конечной скоростью. Однако это свойство реализуется лишь при распространении тепла в холодную среду и теряется в случае отличной от нуля температуры вещества [6], что является существенным недостатком такого подхода. Другой интересный результат - это явление локализации тепла, состоящее в том, что температура от границы с заданным законом возрастания температуры распространяется в теплопроводящую среду только на конечную глубину, даже если в граничной точке имеет место неограниченный рост температуры так, что в предельный момент времени температура становится равной бесконечности [5]. В [6] локализация тепла интерпретируется как остановившаяся тепловая волна.
Другой подход к устранению парадокса о бесконечно большой скорости распространения тепла состоит в отказе от локальности во времени и введении гипотезы о релаксации плотности потока тепла, выраженной уравнением Максвелла - Катанео [2, 7 - 8]. Этот подход приводит к гиперболической форме уравнения теплопроводности, описывающего распространение возмущения с конечной скоростью. Возможность такого описания теплопереноса обсуждается, например, в [2] (см. также приведенные там ссылки на более ранние работы). В рамках этого направления наиболее полно волновой перенос тепла рассмотрен в монографии [7]. В работах [8 - 9] проведён анализ волнового переноса субстанции с учетом релаксационных явлений в неравновесных средах на основе, так называемой, расширенной необратимой термодинамики и высказано предположение о существовании ударных тепловых волн в нелинейных средах. Необходимо отметить, что в цитированной литературе уравнение Максвелла - Катанео предлагается феноменологически, на основе качественных соображений, то есть без строгого обоснования и без вывода выражения для скорости распространения теплового возмущения. Эти недостатки успешно преодолены в [10], где в результате решения уравнения Больцмана методом разложения функции распределения в ряд Энскога по параметру Кнудсена в случае наличия нескольких масштабов зависимости функции распределения от времени и координат показано, что уравнения переноса дополняются вкладами от релаксационных процессов. В частности, учет релаксационных эффектов в уравнении баланса энергии приводит к гиперболическому уравнению теплопроводности и к конечной скорости распространения теплоты.
Математическому моделированию процессов волнового переноса тепла посвящено незначительное число работ. Отчасти это объясняется сложностью постановки и решения подобных задач, так как фронт тепловой волны математически представляет собой сильный или слабый разрыв температурного поля. Кроме этого, с помощью численного моделирования сложно точно выделить фронт волны, а, следовательно, и решение до и после фронта. Поэтому волновой перенос тепла представляет еще недостаточно изученную область.
Цель данной работы: установить механическую аналогию волнового теплопереноса и оценить возможности использования механической модели при ее численной реализации для анализа закономерностей волнового теплопереноса.
Постановка такой цели обоснована тем, что уравнения гиперболического типа наиболее часто встречаются в физических задачах, связанных с процессами колебаний [11] и, в частности, описывают процессы распространения возмущений состояния дискретных и непрерывных механических систем.
Для достижения цели ставятся и решаются задачи:
- изучить состояние современной теории теплопроводности;
- выявить механическую модель волнового теплопереноса на основе принципа “одинаковые уравнения - одинаковые решения”;
- интерпретировать численную реализацию механической модели в терминах теплопереноса;
- рассмотреть возможности использования механической модели при ее численной реализации для анализа закономерностей волнового теплопереноса.
Структурно работа состоит из Введения, Трех глав, Заключения и Списка использованной литературы. В Первой главе излагается классическая теория теплопроводности, и отмечается ее главный недостаток - бесконечно большая скорость распространения тепла по теплопроводящей среде. Во Второй главе рассматривается локально-неравновесная модель теплопроводности, выявляется наиболее простая механическая аналогия локально-неравновесной
теплопроводности, осуществляется математическая постановка задачи и описывается метод ее численной реализации. В Третьей главе на основе численных расчетов динамика механической системы интерпретируется в терминах теплопереноса и исследуется влияние параметров модели на скорость распространения тепла. В Заключении кратко формулируются основные выводы работы и рекомендации по ее возможному дальнейшему развитию.

Купить