1. Введение 4
2. Модель случайного графа с
фиксированным распределением степеней вершин 7
2.1. Производящие функции 7
2.2. Величина компонент связности 11
2.3. Ориентированные графы 13
3. Модель кросс-холдинга Гая-Кападия 18
3.1. Общая структура 18
3.2. Производящие функции 21
3.3. Фазовый переход 23
4. Алгоритм моделирования случайного графа и запуск
дефолтов 26
4.1. Общая схема 26
4.2. Моделирование дискретной случайной величины 27
4.3. Преобразование набора вершин в граф 29
4.4. Моделирование кросс-холдинга 30
4.5. Моделирование дефолтов на полученном графе 31
4.6. Программа 31
5. Результаты 33
Существуют системы, в которых элементы тесно и сложно связаны между собой. Примером такой системы может являться замкнутая группа людей, в которой один участник заразился некоторой инфекцией. Тогда распространение инфекции в группе зависит от частоты контактов заболевшего с остальными членами группы, силы иммунитета и прочих факторов. Аналогичным примером может служить сеть связанных компьютеров, в которой распространяется вирус, или социальные сети и распространение через них различного вирусного контента. Подобные эффекты можно увидеть и в финансовой сфере. Объектом исследования данной работы являются кросс-холдинги. Кросс-холдинг — это система, состоящая из различных организаций (например, банков), в которой участники обладают друг перед другом рядом обязательств (взаимные кредиты в случае банков). Аналогом заболевания в таком случае будет служить дефолт банка, т.е. состояние неплатежеспособности и невозможность отдавать долги. Таким образом, дефолты могут распространяться от банка к банку, а неплатежеспособность единственного банка может привести к краху всей системы. Подробно системы кросс-холдингов были описаны в [1].
В качестве инструмента, который используется для исследования кросс-холдингов, были выбраны случайные графы с фиксированным распределением степеней вершин. Дело в том, что графы сами по себе удобны для представления и изучения различных систем, представимых в виде сетей, а теория случайных графов позволяет изучать некоторые типичные свойства подобных систем. Конкретная модель случайного графа — с фиксированным распределением сте-пеней вершин — также была выбрана неслучайно. Несмотря на то, что, пожалуй, самой известной моделью является модель случайного графа Эрдёш-Реньи (описана в [2]), она мало подходит для исследования кросс-холлдингов из-за Пуассоновского распределения степе-ней вершин, которое нехарактерно для изучаемых моделей. Поэтому, как утверждается в [4], для подобных систем следует использовать схему, которая позволяет строить граф, основываясь на желаемом распределении степеней его вершин. Для этих целей была выбрана модель, предложенная Ньюменом, Строгатцем и Ватсом (мы будем ссылаться на неё по имени первого автора).
Наложение финансовой составляющей на модель случайного графа Ньюмена приводит нас к модели кросс-холдингов, которая описана в статье Гая-Кападии [3]. В ней аппарат производящих функций объединяется с понятиям уязвимости банка, и проводятся исследования соответствующих свойств полученных систем.
С практической точки зрения интересен алгоритм программного моделирования случайного графа с заданным законом распределения. Для его реализации требуется решить несколько проблем: моделирование случайных величин, процесс соединения вершин графа, отсеивание плохих случаев. Общая схема была взята из статьи [4]. Задача моделирования дискретной случайной величины была решена классическим методом Уолкера (описан в [5]).
Работа состоит из 5 параграфов. Во втором описываются различные модели случайных графов и аппарат производящих функций, который позволяет их исследовать. В третьем параграфе говорится о модели кросс-холдинга и о применении в ней теории случайных графов. Некоторые теоретические результаты, полученные в этих двух параграфах, в дальнейшем сравниваются с данными, полученными в результате моделирования. В четвертом параграфе идёт речь о непосредственно моделировании случайных графов и экономических процессов на них. В заключительном, пятом, параграфе анализируются результаты проведенного моделирования.
