Введение
Глава 1. Основы классического вариационного исчисления
Задача о брахистохроне
Пространственная задача
Необходимые и достаточные условия экстремума в простейшей задаче вариационного исчисления
Вариация функции и функционала
1.2 Основные леммы вариационного исчисления
1.3 Частные случаи интегрируемости уравнения Эйлера
Условия Лежандра и Якоби
Глава 2. Обобщения простейшей задачи
2.1 Простейшая задача в случае вектор-функций
2.2 Подвижные концы в простейшей вариационной задаче
2.3 Функционалы, зависящие от функций нескольких переменных
Глава 3. Задачи на условный экстримом
Простейшая изопериметрическая задача
3.1 Изопериметрическая задача
3.2 Прямые методы вариационного исчисления
3.3 Построение минимизирующих последовательностей. Метод Ритца
4. Заключение
5. Список литературы
Многие задачи математической физики допускают естественную вариационную постановку. В этой постановке задача сводится к отысканию экстремума некоторого функционала, т.е. к решению экстремальной задачи. Вариационный подход позволяет снять ограничения гладкости искомого решения, не вызванные физической природой изучаемого явления (рассматривается так называемое обобщенное или слабое решение). Условно вариационные задачи можно разделить на задачи оптимизации (задачи оптимального управления) и задачи, приводящие к вариационным неравенствам.
В математике, физике, экономике часто приходится иметь дело с более общим классом задач, которые также приводят к экстремальным, но на более узком множестве функций, чем традиционные, причем соответствующие функционалы могут не обладать гладкостью, необходимой для применения классических методов вариационного исчисления. Для исследования такого рода задач с ограничениями были привлечены так называемые вариационные неравенства, и это позволило решить довольно сложные задачи механики и физики, до того не поддававшиеся решению.
Объект исследования
Простейшая задача вариационного исчисления.
Задача на нахождение допустимых экстремалей.
Предмет исследования
Решение вариационных задач при помощи среды MATLAB.
Цель работы
Решение вариационных задач в среде MATLAB.
Задачи работы:
Изучить литературу по проблеме исследования.
Разработать комплекс программ для решения вариационных предложенных задач в среде MATLAB.
Изучить аналитические и численные методы исследования вариационных задач.
Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием общепризнанных математических методов, сравнением с результатами других авторов, совпадением аналогичных результатов, сравнением теоретических результатов с экспериментальными.
Дипломная работа состоит из Введения, трех глав, Заключения. Она изложена на 57 страницах машинописного текста, включающего 4 рисунка, и список литературных источников из 15 наименования.
В первой главе «Основы классического вариационного исчисления» формулируются необходимые и достаточные условия слабого и сильного локального минимума простейшей задачи вариационного исчисления; приводятся необходимые условия экстремума для обобщений простейшей задачи, рассматривается задача со старшими производными.
В главе 2. «Обобщения простейшей задачи». Рассмотрена простейшая задача в случае вектор-функций, а так же задача со старшими производными. Решена задача на нахождение экстремалей и реализована в среде MATLAB.
В главе 3. «Задачи на условный экстремум» излагается идея и схема получения решения вариационных задач в различных постановках. Рассмотрена изометрическая задача, разобран пример этой задачи, который просчитан в среде MATLAB, результат сравнен с экспериментальным.
В настоящее время вариационные методы являются одним из мощных средств анализа самых разнообразных задач. Наиболее интенсивно вариационные подходы использовались в задачах об упругом поведении конструкций, особенно в задачах оптимального проектирования. Интерес к этим задачам усилился в связи с быстрым развитием авиационной и космической техники, судостроения, где чрезвычайно важно решение проблемы снижения веса конструкции без ущерба для ее прочности и аэродинамических свойств.
Вариационный подход к решению задач об устойчивости, равновесии и колебаниях упругих конструкций позволил сформулировать ряд прикладных теорий, позволяющих с успехом осуществлять расчет самых разнообразных конструкций.
Задача об отыскании экстремума некоторого функционала сводится к решению дифференциального уравнения. Отметим, что некоторые задачи математической физики могут быть сведены к задачам об отыскании минимума некоторого функционала.
Для решения этих проблем в магистерской диссертационной работе были проанализированы цели и задачи в методах вариационных неравенств, основные методы решения. Также в работе были изучены основные понятия о методах решения вариационных неравенств, были определенны основные цели и задачи, которые рассмотрены в магистерской диссертационной работе.
Написан и разработан комплекс решения этих методов при помощи комплекса Matlab.
