Тема: Распараллеливание методом декомпозиции области численного решения уравнения диффузии

Уравнение диффузии является частным видом дифференциального уравнения в частных производных. Решая уравнение диффузии, необходимо найти зависимость концентрации вещества (или объектов) от пространственных координат и времени. Если речь идет об общем случае, то данный коэффициент зависит от времени и пространственных координат.
В общем виде уравнение записывается следующим образом:
дф(г, Г)
——— = V • [D(y,r)Vy(r,t~)],
KJ <✓
где ф(г, t) — плотность диффундирующего вещества в точке r и во время t и О(ф, г) — обобщённый диффузионный коэффициент для плотности ф в точке r. V - оператор набла.
Если коэффициент диффузии зависит от плотности — уравнение нелинейно, в противном случае — линейно.
Если D постоянное, то уравнение диффузии сводится к уравнению теплопроводности (линейному дифференциальному уравнению).
Уравнение диффузии было открыто в 1855 году известным немецким физиком и филологом Адольфом Фиком (1829 - 1901) по аналогии с уравнением Ж. Фурье для потока тепла [1]. Я. М. Гельфер в книге «История и методология термодинамики и статистической физики» (1981) отмечает: «Явление диффузии было впервые исследовано вюрцбургским ученым А.Фиком на примере соляных растворов. Фик путем тщательных исследований показал, что свободная диффузия соляных растворов происходит по законам, совершенно аналогичным законам распространения тепла в твердых телах». Уравнение диффузии бывает стационарным и нестационарным. Первое представляет собой параболическое
дифференциальное уравнение, которое описывает как распространяется растворяемое вещество вследствие диффузии.

Купить

В ходе настоящей работы выполнена задача нахождения численного решения уравнения диффузии. Выявлено, что распараллеливание области методом декомпозиции является эффективным, что подтверждается полученными графиками решений и полученными результатами зависимости времени построения решения от количества точек. В соответствии с результатами, время, затраченное на решение уравнения Пуассона для достаточно большого количества точек (например, 263 тысячи, что является достаточно точным решением) является малым (для данного примера 2,7 секунды при параллельной форме и 3.1 секунды для прямой формы). Проведено сравнение применения метода декомпозиции с использованием быстрого метода решения системы уравнений и с использованием метода Гаусса. Второй способ менее эффективный. Для 4257 точек метод, разработанный в данной работе выполняет построение решения за 0.1 секунду при прямой форме работы программы и 0.5 при параллельной форме (разница с прямой формой такая, т к изначально происходит долгая инициализация всех данных, нужных для работы программы). Для метода декомпозиции в совокупности с методом Гаусса же время работы равняется 200 секундам.
Таким образом, применение метода декомпозиции с быстрым решением системы, отсутствием хранения неиспользуемых ячеек матриц и параллельным выполнением функций является эффективным в задачи нахождения области численного решения уравнения диффузии.

Купить