ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВ НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
|
ВВЕДЕНИЕ 6
1 Анализ предметной области 8
1.1 Введение в предметную область 8
1.2 Требования к разрабатываемому программному обеспечению 16
2 Система визуализации геодезических на поверхностях в трехмерном
евклидовом пространстве 18
2.1 Теоретическое обоснование используемой методики 18
2.1.1 Риманова метрика 18
2.1.2 Геодезические на поверхностях в трехмерном евклидовом
пространстве 20
2.2 Проектирование и реализация системы визуализации геодезических
на поверхностях в трехмерном евклидовом пространстве 25
2.2.1 Выбор средств разработки 25
2.2.2 Общая архитектура системы 26
2.2.3 Реализация вычисления и визуализации геодезических 27
2.2.4 Эксперименты и исследование эксплуатационных характеристик 30
3 Система визуализации свойств трехмерных сферического и
эллиптического пространств изнутри 32
3.1 Теоретическое обоснование используемой методики 32
3.1.1 Движения пространств 32
3.1.2 Отрисовка сцен в трехмерных сферическом и эллиптическом
пространствах 35
3.1.3 Управление с видом от первого лица в трехмерных сферическом
и эллиптических пространствах 40
3.1.4 Эффект дымки в сферическом и эллиптическом пространствах 42
3.2 Реализация системы визуализации свойств трехмерных
сферического и эллиптического пространств 46
3.2.1 Выбор средств разработки 46
3.2.2 Общая архитектура 47
3.2.3 Использование графического конвейера Direct3D для
визуализации свойств сферического и эллиптического пространств 48
3.2.4 Добавление на сцену объектов сферической и эллиптической
геометрий 56
3.2.5 Эксперименты и исследование эксплуатационных характеристик 59
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 61
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ 63
ПРИЛОЖЕНИЕ
1 Анализ предметной области 8
1.1 Введение в предметную область 8
1.2 Требования к разрабатываемому программному обеспечению 16
2 Система визуализации геодезических на поверхностях в трехмерном
евклидовом пространстве 18
2.1 Теоретическое обоснование используемой методики 18
2.1.1 Риманова метрика 18
2.1.2 Геодезические на поверхностях в трехмерном евклидовом
пространстве 20
2.2 Проектирование и реализация системы визуализации геодезических
на поверхностях в трехмерном евклидовом пространстве 25
2.2.1 Выбор средств разработки 25
2.2.2 Общая архитектура системы 26
2.2.3 Реализация вычисления и визуализации геодезических 27
2.2.4 Эксперименты и исследование эксплуатационных характеристик 30
3 Система визуализации свойств трехмерных сферического и
эллиптического пространств изнутри 32
3.1 Теоретическое обоснование используемой методики 32
3.1.1 Движения пространств 32
3.1.2 Отрисовка сцен в трехмерных сферическом и эллиптическом
пространствах 35
3.1.3 Управление с видом от первого лица в трехмерных сферическом
и эллиптических пространствах 40
3.1.4 Эффект дымки в сферическом и эллиптическом пространствах 42
3.2 Реализация системы визуализации свойств трехмерных
сферического и эллиптического пространств 46
3.2.1 Выбор средств разработки 46
3.2.2 Общая архитектура 47
3.2.3 Использование графического конвейера Direct3D для
визуализации свойств сферического и эллиптического пространств 48
3.2.4 Добавление на сцену объектов сферической и эллиптической
геометрий 56
3.2.5 Эксперименты и исследование эксплуатационных характеристик 59
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 61
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ 63
ПРИЛОЖЕНИЕ
В течении долгих веков после написания «Начал» Евклида внимание математиков привлекал пятый постулат, или постулат параллельности. В девятнадцатом веке был совершен прорыв в исследовании неевклидовых пространств. С одной стороны, были исследованы геометрии, законы которых выводятся из отрицания пятого постулата Евклида c сохранением всех остальных; в таких геометриях на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну прямую, параллельную данной, а бесконечно много (геометрия Лобачевского, или гиперболическая геометрия) или ноль (геометрия Римана, или эллиптическая геометрия). С другой стороны, была исследована риманова геометрия, являющаяся неоднородным обобщением евклидовой. С появлением общей теории относительности оказалось, что риманова (точнее, псевдориманова) геометрия может быть использована для описания свойств пространства-времени. Однако этим возможные применения неевклидовых геометрий и пространств не исчерпываются.
Разумеется, такие пространства можно рассматривать сугубо с точки зрения математики, однако их математическое описание сложно для восприятия, особенно нематематиками. Возможным также может быть физическое моделирование, сводящееся к созданию физических объектов с определенной геометрией. Так, вполне возможно создание моделей двумерных сферического и гиперболического пространств. Однако создание таких объектов довольно трудоемко; кроме того, этот способ ограничивается случаем двумерных пространств, то есть поверхностей. Возможности же компьютерного моделирования позволяют не только визуализировать свойства неевклидовых пространств в наглядной форме, но и предоставить пользователю возможность взаимодействовать с ними.
Актуальность исследования заключается в широком использовании неевклидовой римановой геометрии в общей теории относительности и возможности использования аппарата римановой геометрии для планирования траектории движения по различным поверхностям и пространствам, а также 6
возможности использования систем визуализации неевклидовых пространств в учебных целях (в том числе и в игровых приложениях) и целях визуализации информации.
Объектом исследования являются неевклидовы пространства. Предмет исследования - визуализация их геометрических свойств.
Целью работы является исследование методов и алгоритмов компьютерного моделирования и визуализации геометрических свойств неевклидовых пространств. В соответствии с поставленной целью были определены следующие задачи: изучение существующих методов и алгоритмов компьютерного моделирования неевклидовых пространств и существующих систем их визуализации, формулирование требований к разрабатываемому программному обеспечению для визуализации геометрических свойств неевклидовых пространств, проектирование и разработка такого программного обеспечения, эксперименты и исследование эксплуатационных характеристик.
Практическая ценность работы заключается в создании системы для визуализации геодезических на поверхностях в трехмерном евклидовом пространстве, в основе которой лежит дифференциально-геометрический подход к рассмотрению неевклидовых пространств, и системы для визуализации свойств сферического и эллиптического пространств изнутри, в основе которой лежит теоретико-групповой подход к изучению таких пространств. Предлагается алгоритм реализации управления в трехмерных сферическом и эллиптическом пространствах.
Разумеется, такие пространства можно рассматривать сугубо с точки зрения математики, однако их математическое описание сложно для восприятия, особенно нематематиками. Возможным также может быть физическое моделирование, сводящееся к созданию физических объектов с определенной геометрией. Так, вполне возможно создание моделей двумерных сферического и гиперболического пространств. Однако создание таких объектов довольно трудоемко; кроме того, этот способ ограничивается случаем двумерных пространств, то есть поверхностей. Возможности же компьютерного моделирования позволяют не только визуализировать свойства неевклидовых пространств в наглядной форме, но и предоставить пользователю возможность взаимодействовать с ними.
Актуальность исследования заключается в широком использовании неевклидовой римановой геометрии в общей теории относительности и возможности использования аппарата римановой геометрии для планирования траектории движения по различным поверхностям и пространствам, а также 6
возможности использования систем визуализации неевклидовых пространств в учебных целях (в том числе и в игровых приложениях) и целях визуализации информации.
Объектом исследования являются неевклидовы пространства. Предмет исследования - визуализация их геометрических свойств.
Целью работы является исследование методов и алгоритмов компьютерного моделирования и визуализации геометрических свойств неевклидовых пространств. В соответствии с поставленной целью были определены следующие задачи: изучение существующих методов и алгоритмов компьютерного моделирования неевклидовых пространств и существующих систем их визуализации, формулирование требований к разрабатываемому программному обеспечению для визуализации геометрических свойств неевклидовых пространств, проектирование и разработка такого программного обеспечения, эксперименты и исследование эксплуатационных характеристик.
Практическая ценность работы заключается в создании системы для визуализации геодезических на поверхностях в трехмерном евклидовом пространстве, в основе которой лежит дифференциально-геометрический подход к рассмотрению неевклидовых пространств, и системы для визуализации свойств сферического и эллиптического пространств изнутри, в основе которой лежит теоретико-групповой подход к изучению таких пространств. Предлагается алгоритм реализации управления в трехмерных сферическом и эллиптическом пространствах.
В результате работы было исследовано два подхода к визуализации геометрических свойств неевклидовых пространств и созданы две системы, в которых реализованы эти два подхода. Первая система, основанная на дифференциально-геометрическом подходе, позволяет строить геодезические на поверхностях (двумерных многообразиях), вложенных в трехмерное евклидово пространство. Вторая система, основанная на теоретико-групповом подходе, позволяет наглядно представлять объекты и сцены в трехмерных сферическом и эллиптическом пространствах и перемещаться по этим пространствам с видом от первого лица; был предложен и реализован алгоритм реализации управления в таких пространствах.
Результаты работы были представлены на Международной научной студенческой конференции 2020 в секции «Информационные технологии» и подсекции «Компьютерная графика, мультимедиа технологии и системы виртуальной реальности» [2]; доклад был удостоен дипломом второй степени.
Выражаю искреннюю благодарность и глубокую признательность доктору технических наук, заведующему кафедрой Компьютерных Технологий ФИТ Владимиру Евгеньевичу Зюбину за его неоценимые замечания и рекомендации по направлению проводимых исследований.
В качестве дальнейшего направления исследования можно рассматривать исследование методов визуализации свойств трехмерных неоднородных пространств с видом от первого лица с помощью графических ускорителей. Также исследовательский интерес может представлять визуализация свойств трехмерных геометрий Терстона, к которым относятся не только евклидова, сферическая и гиперболическая геометрии, но и пять других.
Выпускная квалификационная работа выполнена мной самостоятельно и с соблюдением правил профессиональной этики. Все использованные в работе материалы и заимствованные принципиальные положения (концепции) из опубликованной научной литературы и других источников имеют ссылки на них. Я несу ответственность за приведенные данные и сделанные выводы.
61
Я ознакомлен с программой государственной итоговой аттестации, согласно которой обнаружение плагиата, фальсификации данных и ложного цитирования является основанием для не допуска к защите выпускной квалификационной работы и выставления оценки «неудовлетворительно».
Результаты работы были представлены на Международной научной студенческой конференции 2020 в секции «Информационные технологии» и подсекции «Компьютерная графика, мультимедиа технологии и системы виртуальной реальности» [2]; доклад был удостоен дипломом второй степени.
Выражаю искреннюю благодарность и глубокую признательность доктору технических наук, заведующему кафедрой Компьютерных Технологий ФИТ Владимиру Евгеньевичу Зюбину за его неоценимые замечания и рекомендации по направлению проводимых исследований.
В качестве дальнейшего направления исследования можно рассматривать исследование методов визуализации свойств трехмерных неоднородных пространств с видом от первого лица с помощью графических ускорителей. Также исследовательский интерес может представлять визуализация свойств трехмерных геометрий Терстона, к которым относятся не только евклидова, сферическая и гиперболическая геометрии, но и пять других.
Выпускная квалификационная работа выполнена мной самостоятельно и с соблюдением правил профессиональной этики. Все использованные в работе материалы и заимствованные принципиальные положения (концепции) из опубликованной научной литературы и других источников имеют ссылки на них. Я несу ответственность за приведенные данные и сделанные выводы.
61
Я ознакомлен с программой государственной итоговой аттестации, согласно которой обнаружение плагиата, фальсификации данных и ложного цитирования является основанием для не допуска к защите выпускной квалификационной работы и выставления оценки «неудовлетворительно».
Подобные работы
- Геометрия орициклов плоскости Лобачевского
Бакалаврская работа, математика. Язык работы: Русский. Цена: 4750 р. Год сдачи: 2017 - Моделирование и визуализация динамики планарных квазичастиц в терминах 3D струн
Магистерская диссертация, информатика. Язык работы: Русский. Цена: 4900 р. Год сдачи: 2017