Введение 3
Глава 1 Теоретико-методологический обзор 7
1.1 Планарные квазичастицы 7
1.2 Кубит как элементарная единица квантовой информации 15
1.3 Геометрический подход в теории струн 20
Глава 2 Математическая модель трехмерной струны 27
2.1 Задача Штурма-Лиувилля 27
2.2 N-солитонные решения спектральной задачи второго порядка 33
2.3 Разбор простого случая N=3 44
Глава 3. Практическое вычисление моделируемого объекта 47
3.1 Листинг программы диссертации 47
3.2 Результаты 76
Заключение 82
Список использованной литературы 83
На сегодняшний день ведется исследование проблемы создания полноценного квантового компьютера. Необходимость в последнем возникает при использовании физического метода для огромного числа частиц при моделировании сложных систем.
Например, пространство состояний системы из различных микроорганизмов имеет экспоненциальный рост при увеличении количества частиц, что сделает невозможным моделирование их поведения на классических компьютерах уже для тысячи таких объектов.
Чем квантовый компьютер отличается от классического? Квантовый компьютер основан на таких квантовомеханических эффектах, как, например, квантовая запутанность и квантовый параллелизм. Это позволяет преодолеть известное ограничение классических компьютеров, которое выходит за рамки настоящей диссертации.
Функционирование такого компьютера связано с необычными свойствами мира элементарных частиц. Кванты, даже будучи в громадном отдалении друг от друга, могут оказаться в запутанном состоянии, в котором эти объекты все-таки зависят друг от друга. О квантовом параллелизме вычислений можно кратко рассказать на основе следующего сравнения: в ЭВМ изменение состояния одного бита никак не затронет остальные биты, а в квантовом компьютере любое воздействие (в том числе и наблюдение) на одну его частицу повлечет изменение состояния всех других. Поэтому последний выдаст большую производительность по сравнению с первым. Для выполнения программы, такой как криптографической, квантовый компьютер задействует систему из сотни атомов, общая производительность которых превысит миллиард операций в миллисекунды.
В качестве научной проблемы, к которой имеет отношение настоящая диссертация, выступает возможность построения квантового компьютера через топологические косы, реализованные посредством энионов.
Итак, характеристиками энионов будут обладать так называемые планарные квазичастицы - возбуждения динамических систем с большим (бесконечным, в предельном случае) числом степеней свободы. Поэтому актуальной является проблема математического моделирования планарных квазичастиц с заданными свойствами. В качестве модели может выступать представление струны в виде совокупности точек возврата.
Целью работы является исследование специальных случаев динамики, а так же поведения точек возврата планарной струны, отвечающих N-солитонным решениям спектральной задачи Штурма - Лиувилля, возникающей при исследовании некоторой (известной ранее) системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Последняя возникает при исследовании динамики планарных струн. Для достижения данной цели в работе были поставлены следующие задачи:
1. Исследовать динамику точек возврата планарной струны.
2. Вывести формулы для построения мировых линий точек возврата, соответствующим N-солитонным решениям.
3. Провести серию вычислительных экспериментов по моделированию планарных квазичастиц точками возврата с помощью разработанного ПО, используя различные данные рассеяния спектральной задачи.
Научная новизна работы заключается в следующем:
- будут выведены расчетные формулы для визуализации мировых линий точек возврата, в терминах спектральной задачи второго порядка;
- будет проведена серия компьютерных экспериментов, в которых будет исследована динамика поведения точек возврата планарной струны, в том числе - топология кос мировых линий данных точек. На основе данных экспериментов предполагается сделать вывод о возможности дальнейшего использования рассмотренных объектов для моделирования энионов.
Актуальность выполненной работы заключается в сложности наблюдения за реальными физическими энионами, поэтому приобретает важность построение их математических моделей.
Метод исследования заключается в следующем: сначала будет дано математическое обоснование данного исследования, затем произойдет эксперимент посредством компьютерного моделирования, следом соберутся статистические данные по данному вопросу.
Объектом исследования будет являться планарная струна с точками возврата.
Предметом исследования станет динамика точек возврата при различных комбинациях данных рассеяния спектральной задачи второго порядка.
Данная магистерская диссертационная работа состоит из аннотации, введения, 3 главы, выводов по работе, списка источников и приложения.
Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, формулируются цель и задачи работы.
В первой главе будет выполнен обзор литературных источников, посвященных геометрическому подходу в теории струн и методу обратной задачи в теории нелинейных эволюционных уравнений, а также предоставлен анализ современного состояния исследований в данной области. Результатом первой главы будет являться теоретико-методологическое обоснование подхода к решению научно-практической проблемы представления мировых линий планарных квазичастиц как топологические косы.
Вторая глава будет посвящена изучению возможностей применения метода обратной задачи к модели планарных квазичастиц. Будет рассчитана динамика точек возврата SD-струн для последующего процесса визуализации. Произойдет вывод расчетных формул для пространственных эволюционирующих кривых, которые отвечают N-солитонным решениям спектральной задачи второго порядка уравнения Штурма-Лиувилля.
В третьей главе будет произведена серия компьютерных экспериментов над моделью планарных квазичастиц (по выведенным расчетным формулам) посредством разработанных программ с последующим накоплением статистики по начальным данным и данным рассеяния. На основе полученной информации, будет проведен анализ динамики точек возврата планарной струны.
В заключении будут сделаны выводы по результатам анализа исследуемого, моделируемого явления.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Построена модель локализованных планарных объектов (точек возврата), которые можно интерпретировать как планарные квазичастицы.
2. Проведена серия компьютерных экспериментов, показывающие, что мировые линии данных объектов образуют косы различной топологии.
3. В ходе компьютерных экспериментов было продемонстрировано изменение топологии кос при изменении дискретного набора данных рассеяния спектральной задачи второго порядка.
Использованы несколько наборов данных рассеяния уравнения Штурма- Лиувилля на примере быстроубывающего случая.
По результатам проведенного анализа, были выведены математические формулы для программы моделирования квазичастиц точками возврата планарных струн. Собрана статистика по результатам моделирования на различных наборах входных данных, имитирующих поведение мировых линий энионов. Была исследована динамика движения точек возврата. Собрана статистика по результатам моделирования на различных наборах входных данных, имитирующих поведение мировых линий энионов.
В ходе проведенных компьютерных экспериментов, установлено переплетение мировых линий друг с другом, что свидетельствует об образовании кос различной топологии. Это означает, что нужно продолжать исследование моделирования энионов в целях приложений построенных моделей к исследованию топологического квантового компьютера.
Программное обеспечение надо усовершенствовать: расширить возможный количество собственных значений до сорока, увеличить охватываемый диапазон моделирования, исправить некоторые недочеты в запрограммированном вычислении.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
