ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 6
1.1 Список обозначений 6
1.2 Некоторые неравенства 10
1.3 Вcпoмoгaтeльныe пpeдлoжeния 16
ГЛАВА 2 ЛИНЕЙНАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ДВИЖЕНИЯ
ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 25
2.1 Теоремы о существовании и единственности решения задачи 26
ГЛАВА 3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 35
3.1 Постановка задачи 35
3.2 Доказательство теоремы 1 41
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 46
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
В настоящей работе изучается задача об изменении малых возмущений в упругой деформируемой среде, перфорированной системой каналов (пор), которые заполнены несжимаемой жидкостью. Эти среды являются упругими пористыми средами и достаточно хорошим приближением реальных консолидированных грунтов.
Модель представлена уравнениями Огокса для скорости жидкocти в порах грунта и уравнениями Ламе для перемещений твердого скелета грунта. На границе «твердый скелет - поровое пространство» выполнены условия непрерывности перемещений и нормальных напряжений.
Вопросы исследования многомерных сильно неоднородных сред отражены в большом количестве математической литературы. Работы В.В. Жикова, С.М. Козлова, O.A. Олейник [4], посвящены теории усреднения дифференциальных операторов. Задачи усреднения уравнений теории упругости с быстро осциллирующими коэффициентами были расскрыты в монографиях O.A. Олейник, Г.А. Иосифьяна, A.C. Шамаева [15]. Имеется еще целый ряд работ, рассматривающих данный вопрос, таких авторов, как: В.А. Марченко, Е.Я. Хруслова [10], А. Бенсусана, Ж.-Л. Лионса, Д. Папаниколау [20], Э. Caнчec-Пaлeнcии [18], H.C. Бахвалова, Г.П. Панасенко [1], A.JI. Пятницкого, r.A. Чечкина, A.C. Шамаева [17].
Достаточно хорошо исследованы задачи движения жидкости в ограниченной замкнутой области и задачи о колебании (распространение волн в упругом твердом теле) в работах Ладыженской [7], [8], [9].
Объектом иследования является точная математическая модель упругой пористой среды, представленая линейной системой дифференциальных уравнений.
Актуальность выпукной квалификационной работы обоснована применением этой модели при описании распространения сейсмических и акустических волн, а также фильтрации подземных жидкостей в упругих пористых средах.
Мaтeмaтичecкaя модель, нecмoтpя та её линейность, является сложной, так как основные дифференциальные уравнения имеют под знаком производной недифференцируемые быстро осциллирующие малые и большие коэффициенты (они зависят от малого параметра модели, которые выражают отношение размера пор к размеру рассматриваемой области).
Сформулированная задача имеет отношение к моделированию движения подземных жидкостей, поэтому может вызывать практический интерес в нефтедобывающей промышленности и сейсмологии.
Целью работы является вывод равномерных по параметру модели оценок решения задачи.
Поставленная цель достигается решением следующих задач:
- Изучить теоретический материал необходимый для
исследования;
- Сформулирвать определение обобщенного решения задачи;
- Получить интегральное тождество;
- Получить априорные оценки решения начально-краевой задачи для неоднородной среды.
Выпускная квалификационная работа изложена на 48 страницах и состоит из введения, трех глав, заключения и спиека использованной литературы.
Введение содержит общие сведения о работе, актуальность, объект исследования, цель и задачи.
Первая глава содержит предварительные сведения. Вспомогательные теоремы, такие как теорема Ф. Реллиха и некоторые неравенства (неравенство Юнга, Гельдера, Гронуолла, Корна).
Во второй главе рассматривается линейная нестационарная задача движения жидкости в ограниченном пространстве, а также теорема о существовании и единствености ее решения.
В третьей главе представлены основные результаты. Сформулировано определение обобщенного решения задачи. Получено интегральное тождество, на котором основан вывод оценок.
Заключение представляет собой краткий обзор результатов, полученных в процессе исследования, и сделанных на их основе самостоятельных аналитических выводов (общие выводы по работе, достигнутые задачи).
Результат, несомненно, является важным, поскольку на основе априорных оценок возможно получить утверждение о существовании и единственности обобщенного решения задачи.
В данной выпускной квалификационной работе проведен подробный анализ теоретического материала, который связан с темой работы, также изучены основные теоретические положения, необходимые при исследовании краевых задач для дифференциальных уравнений.
Были получены интегральное тождество, априорные оценки решения начально-краевой задачи для неоднородной среды и дано определение обобщенного решения задачи.
Целью работы являлся вывод равномерных по параметру модели оценок решения задачи. Такие оценки получить удалось.
Изучение точной математической модели упругой пористой среды, обоснованно применением при описании распространения сейсмических и акустических волн, а также фильтрации подземных жидкостей в упругих пористых средах, поэтому может вызывать практический интерес в нефтедобывающей промышленности и сейсмологии.
Основные результаты выпускной квалификационной работы докладывались и обсуждались в молодежной научно-практической конференции с международным участием "Естественнонаучные, инженерные и экономические исследования в технике, промышленности, медицине и сельском хозяйстве" и были опубликованы.
