Помощь студентам в учебе
Комбинаторные задачи в системе развивающего обучения четырехлетней начальной школы
|
ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1 РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ К ТРАКТОВКЕ ПОНЯТИЯ «ЗАДАЧА» 10
1.1. Психолого-педагогическая характеристика понятия «задача» 10
1.2. Понятие «задача» в начальном курсе математики 19
1.3. Виды комбинаторных задач и способы их решения 24
ГЛАВА 2 ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ 43
2.1. Опыт включения комбинаторных задач в школьный курс математики.. 43
2.2. Комбинаторные задачи как средство развития мышления школьников. 53 ГЛАВА 3 СИСТЕМА КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ В РАЗВИВАЮЩЕМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ 69
3.1. Методика обучения младших школьников решению комбинаторных задач 69
3.2. Взаимосвязь комбинаторных задач с программным содержанием начального курса математики 90
3.3. Организация и проведение эксперимента 120
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 133
ЛИТЕРАТУРА 136
ПРИЛОЖЕНИЯ 150
ГЛАВА 1 РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ К ТРАКТОВКЕ ПОНЯТИЯ «ЗАДАЧА» 10
1.1. Психолого-педагогическая характеристика понятия «задача» 10
1.2. Понятие «задача» в начальном курсе математики 19
1.3. Виды комбинаторных задач и способы их решения 24
ГЛАВА 2 ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ 43
2.1. Опыт включения комбинаторных задач в школьный курс математики.. 43
2.2. Комбинаторные задачи как средство развития мышления школьников. 53 ГЛАВА 3 СИСТЕМА КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ В РАЗВИВАЮЩЕМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ 69
3.1. Методика обучения младших школьников решению комбинаторных задач 69
3.2. Взаимосвязь комбинаторных задач с программным содержанием начального курса математики 90
3.3. Организация и проведение эксперимента 120
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 133
ЛИТЕРАТУРА 136
ПРИЛОЖЕНИЯ 150
Современное развитие российского общества поставило перед школой задачу воспитания личности, которая могла бы самостоятельно и критически мыслить, сопоставлять и анализировать факты, находить различные варианты решения возникающих проблем, выбирать из них оптимальные, учитывая различные условия и конкретные ситуации.
В связи с этим модернизация общеобразовательной школы на современном этапе ее развития «предполагает ориентацию образования не только на усвоение обучающимися определенной суммы знаний, но и на развитие его личности, его познавательных и созидательных возможностей» [89 ].
В свете этих тенденций изменяется приоритет математического образования, которое на современном этапе рассматривается как процесс становления личности человека посредством овладения им основами математических знаний.
Одним из направлений модернизации содержания математического образования на современном этапе является включение элементов статистики и теории вероятностей в программу школьного курса математики. В новом проекте концепции образовательной области «Математика» Министерства образования Российской Федерации в разделе «Общая характеристика математического образования» отмечается, «что элементы статистики и теории вероятностей становятся обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение».
При изучении этого материала обогащаются представления учащихся о современной картине мира и методах его исследования.
Возможность включения комбинаторики и теории вероятностей в школьный курс математики была обоснована в ряде диссертационных
4
исследований семидесятых и восьмидесятых годов прошлого столетия. Рассматривались различные аспекты этой проблемы: совместное изучение элементов комбинаторики и теории вероятностей [53]; выделения в школьном курсе математики сквозной комбинаторико-вероятностной линии [79]; изучение комбинаторики с помощью графов [20,40]; разработка методики обучения решению комбинаторных задач [114]. Названные исследования ориентировались на учеников основной и средней школы, тем не менее, во всех работах отмечалась целесообразность решения комбинаторных задач в начальной и основной школе как основы сознательного использования учащимися средней школы комбинаторных правил и формул.
Новый этап исследований, связанных с включением комбинаторных и вероятностных задач в школьный курс математики относится к девяностым годам двадцатого века.
Он знаменуется усилением развивающей функции математического образования и появлением работ, в которых выявляется роль комбинаторных задач в развитии мышления учащихся [105].
С точки зрения диссертационного исследования особый интерес представляет работа Е. Е. Белокуровой, в которой обоснована роль комбинаторных рассуждений в совершенствовании умственных операций: анализа, синтеза, сравнения, обобщения и абстрагирования; в развитии действенного, образного и словесно-логического компонентов мышления и их взаимосвязи; в формировании таких качеств мышления как вариативность, гибкость и критичность. Результаты анализа современных учебников математики для начальной школы позволяют констатировать, что тенденция включения комбинаторных задач в процесс обучения младших школьников математике активно реализуется в массовой школьной практике [11,67,68,69,70,111,121].
С одной стороны это обусловлено развивающими возможностями
5
комбинаторных задач, а с другой - преемственностью курса математики начальной и основной школы. Так в некоторые учебники математики 5-го класса включена тема «Перебор возможных вариантов» [103].
Однако задачи комбинаторного характера по-прежнему классифицируются, как задачи повышенной трудности, они не связаны с усвоением основных вопросов курса и не согласованы с логикой построения его содержания. В связи с этим комбинаторные задачи включаются в учебный процесс эпизодически, бессистемно, что в значительной мере снижает их развивающие и дидактические возможности.
Таким образом, актуальность диссертационного исследования определяется:
1. Модернизацией содержания математического образования на современном этапе развития школы.
2. Отсутствием исследований, выявляющих возможность использования комбинаторных задач в курсе математики четырехлетней начальной школы.
3. Потребностью школьной практики в разработке системы комбинаторных задач для младших школьников и методики их решения.
4. Необходимостью решения проблемы преемственности между начальной и основной школой.
Проблемой исследования является поиск возможных методических путей включения комбинаторных задач в процесс усвоения младшими школьниками программного содержания курса математики четырехлетней начальной школы.
Объект исследования - процесс обучения младших школьников математике.
Предмет исследования - комбинаторные задачи как средство усвоения младшими школьниками программного содержания развивающего курса математики начальной школы.
В связи с этим модернизация общеобразовательной школы на современном этапе ее развития «предполагает ориентацию образования не только на усвоение обучающимися определенной суммы знаний, но и на развитие его личности, его познавательных и созидательных возможностей» [89 ].
В свете этих тенденций изменяется приоритет математического образования, которое на современном этапе рассматривается как процесс становления личности человека посредством овладения им основами математических знаний.
Одним из направлений модернизации содержания математического образования на современном этапе является включение элементов статистики и теории вероятностей в программу школьного курса математики. В новом проекте концепции образовательной области «Математика» Министерства образования Российской Федерации в разделе «Общая характеристика математического образования» отмечается, «что элементы статистики и теории вероятностей становятся обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение».
При изучении этого материала обогащаются представления учащихся о современной картине мира и методах его исследования.
Возможность включения комбинаторики и теории вероятностей в школьный курс математики была обоснована в ряде диссертационных
4
исследований семидесятых и восьмидесятых годов прошлого столетия. Рассматривались различные аспекты этой проблемы: совместное изучение элементов комбинаторики и теории вероятностей [53]; выделения в школьном курсе математики сквозной комбинаторико-вероятностной линии [79]; изучение комбинаторики с помощью графов [20,40]; разработка методики обучения решению комбинаторных задач [114]. Названные исследования ориентировались на учеников основной и средней школы, тем не менее, во всех работах отмечалась целесообразность решения комбинаторных задач в начальной и основной школе как основы сознательного использования учащимися средней школы комбинаторных правил и формул.
Новый этап исследований, связанных с включением комбинаторных и вероятностных задач в школьный курс математики относится к девяностым годам двадцатого века.
Он знаменуется усилением развивающей функции математического образования и появлением работ, в которых выявляется роль комбинаторных задач в развитии мышления учащихся [105].
С точки зрения диссертационного исследования особый интерес представляет работа Е. Е. Белокуровой, в которой обоснована роль комбинаторных рассуждений в совершенствовании умственных операций: анализа, синтеза, сравнения, обобщения и абстрагирования; в развитии действенного, образного и словесно-логического компонентов мышления и их взаимосвязи; в формировании таких качеств мышления как вариативность, гибкость и критичность. Результаты анализа современных учебников математики для начальной школы позволяют констатировать, что тенденция включения комбинаторных задач в процесс обучения младших школьников математике активно реализуется в массовой школьной практике [11,67,68,69,70,111,121].
С одной стороны это обусловлено развивающими возможностями
5
комбинаторных задач, а с другой - преемственностью курса математики начальной и основной школы. Так в некоторые учебники математики 5-го класса включена тема «Перебор возможных вариантов» [103].
Однако задачи комбинаторного характера по-прежнему классифицируются, как задачи повышенной трудности, они не связаны с усвоением основных вопросов курса и не согласованы с логикой построения его содержания. В связи с этим комбинаторные задачи включаются в учебный процесс эпизодически, бессистемно, что в значительной мере снижает их развивающие и дидактические возможности.
Таким образом, актуальность диссертационного исследования определяется:
1. Модернизацией содержания математического образования на современном этапе развития школы.
2. Отсутствием исследований, выявляющих возможность использования комбинаторных задач в курсе математики четырехлетней начальной школы.
3. Потребностью школьной практики в разработке системы комбинаторных задач для младших школьников и методики их решения.
4. Необходимостью решения проблемы преемственности между начальной и основной школой.
Проблемой исследования является поиск возможных методических путей включения комбинаторных задач в процесс усвоения младшими школьниками программного содержания курса математики четырехлетней начальной школы.
Объект исследования - процесс обучения младших школьников математике.
Предмет исследования - комбинаторные задачи как средство усвоения младшими школьниками программного содержания развивающего курса математики начальной школы.
Модернизация содержания математического образования, направленная на развитие мышления школьника, отсутствие исследований, выявляющих возможность использования комбинаторных задач в курсе математики четырехлетней начальной школы, потребность школьной практики в разработке системы комбинаторных задач и методики их решения для младших школьников, необходимость решения проблемы преемственности между начальной и основной школой обусловили цель данного исследования, которое заключается в разработке системы комбинаторных задач для младших школьников и обоснованность возможности и целесообразности её включения в процесс усвоения программного содержания развивающего курса математики начальной школы, а также в доказательстве, что данная система является эффективным средством повышения качества математических знаний.
Исследование включало в себя две части: теоретическую и практическую.
В теоретической части определены исходные положения исследования на основе изучения и анализа научных исследований психологов (Л.С. Выготский, П.Я.Гальперин, В.В.Давыдов, А.К. Дусавицкий, Л.В.Занков, А.А.Люблинская, С.Л.Рубинштейн, И.С.Якиманская), педагогов и специалистов в области методики преподавания математики (А.К.Артемьев, Н.Я.Виленкин, Б.В.Гнеденко, Н.Б.Истомина, Ю.М.Колягин, А.Н.Колмогоров, Г.В.Дорофеев, Л.П.Стойлова, Л.М.Фридман, А.Ф.Эсаулов), а также ученых-математиков (К.Берж, А.Кофман, Г.Райзер, А.Ренои, К.А.Рыбников, А.Я.Халамайзер).
В качестве исходных определены следующие теоретические положения «комбинаторика», «комбинаторная задача» и на их основе сформулированы существенные признаки понятия «система комбинаторных задач».
«Система комбинаторных задач - это совокупность видов и способов решения комбинаторных задач, а также определенный порядок их реализации как средства усвоения программного содержания начального курса математики».
Исходя из обозначенной сущности понятия «система комбинаторных задач» раскрыты структурные элементы системы комбинаторных задач. Выделены взаимосвязанные подсистемы: виды комбинаторных задач, способы решения комбинаторных задач, этапы реализации видов и способов решения комбинаторных задач.
Первая подсистема включает три вида задач: задачи на перестановки, задачи на размещения, задачи на сочетания.
Вторая подсистема (способы решения комбинаторных задач) содержит два способа: хаотичный перебор, системный перебор.
Третья подсистема (этапы реализации видов и способов решения комбинаторных задач) состоит из подготовительного и основного этапов. Взаимосвязь первой и второй подсистем заключается в следующем: способы решения для всех видов комбинаторных задач одинаковы. Реализация взаимосвязи осуществляется сначала с помощью пропедевтических заданий (подготовительный этап), а затем - решение комбинаторных задач всех видов и разными способами (основной этап).
Обозначенная система комбинаторных задач, разработанная в русле методической концепции развивающего обучения математике (авт.
Н.Б.Истомина) стала теоретической основой для разработки методики обучения младших школьников решению комбинаторных задач.
Средствами реализации разработанной методики являются: логика построения начального курса математики, сориентированная на формирование приемов умственной деятельности: анализа, синтеза, сравнения, аналогии, классификации, обобщения; новые методические подходы к усвоению учащимися теоретических понятий и общих способов действий; методика обучения решению текстовой задачи, сориентированная на формирование обобщенных умений: навыков чтения, усвоение конкретного смысла арифметических действий, приобретение опыта в соотнесении предметных, вербальных и схематических моделей, знакомства со схемой, знакомство со схемой как способом моделирования.
135
В условиях формирующего эксперимента осуществлялась проверка разработанной методики обучения решению комбинаторных задач.
Результаты проведения сравнительно-констатирующего эксперимента подтвердили выдвинутую гипотезу, что если в русле единой методической концепции, направленной на развитие учащихся, разработать систему комбинаторных задач, в процессе решения которых учащиеся усваивают основные вопросы программного содержания, то это повысит качество математических знаний младших школьников и сформулирует у них умение решать комбинаторные задачи.
Исследование включало в себя две части: теоретическую и практическую.
В теоретической части определены исходные положения исследования на основе изучения и анализа научных исследований психологов (Л.С. Выготский, П.Я.Гальперин, В.В.Давыдов, А.К. Дусавицкий, Л.В.Занков, А.А.Люблинская, С.Л.Рубинштейн, И.С.Якиманская), педагогов и специалистов в области методики преподавания математики (А.К.Артемьев, Н.Я.Виленкин, Б.В.Гнеденко, Н.Б.Истомина, Ю.М.Колягин, А.Н.Колмогоров, Г.В.Дорофеев, Л.П.Стойлова, Л.М.Фридман, А.Ф.Эсаулов), а также ученых-математиков (К.Берж, А.Кофман, Г.Райзер, А.Ренои, К.А.Рыбников, А.Я.Халамайзер).
В качестве исходных определены следующие теоретические положения «комбинаторика», «комбинаторная задача» и на их основе сформулированы существенные признаки понятия «система комбинаторных задач».
«Система комбинаторных задач - это совокупность видов и способов решения комбинаторных задач, а также определенный порядок их реализации как средства усвоения программного содержания начального курса математики».
Исходя из обозначенной сущности понятия «система комбинаторных задач» раскрыты структурные элементы системы комбинаторных задач. Выделены взаимосвязанные подсистемы: виды комбинаторных задач, способы решения комбинаторных задач, этапы реализации видов и способов решения комбинаторных задач.
Первая подсистема включает три вида задач: задачи на перестановки, задачи на размещения, задачи на сочетания.
Вторая подсистема (способы решения комбинаторных задач) содержит два способа: хаотичный перебор, системный перебор.
Третья подсистема (этапы реализации видов и способов решения комбинаторных задач) состоит из подготовительного и основного этапов. Взаимосвязь первой и второй подсистем заключается в следующем: способы решения для всех видов комбинаторных задач одинаковы. Реализация взаимосвязи осуществляется сначала с помощью пропедевтических заданий (подготовительный этап), а затем - решение комбинаторных задач всех видов и разными способами (основной этап).
Обозначенная система комбинаторных задач, разработанная в русле методической концепции развивающего обучения математике (авт.
Н.Б.Истомина) стала теоретической основой для разработки методики обучения младших школьников решению комбинаторных задач.
Средствами реализации разработанной методики являются: логика построения начального курса математики, сориентированная на формирование приемов умственной деятельности: анализа, синтеза, сравнения, аналогии, классификации, обобщения; новые методические подходы к усвоению учащимися теоретических понятий и общих способов действий; методика обучения решению текстовой задачи, сориентированная на формирование обобщенных умений: навыков чтения, усвоение конкретного смысла арифметических действий, приобретение опыта в соотнесении предметных, вербальных и схематических моделей, знакомства со схемой, знакомство со схемой как способом моделирования.
135
В условиях формирующего эксперимента осуществлялась проверка разработанной методики обучения решению комбинаторных задач.
Результаты проведения сравнительно-констатирующего эксперимента подтвердили выдвинутую гипотезу, что если в русле единой методической концепции, направленной на развитие учащихся, разработать систему комбинаторных задач, в процессе решения которых учащиеся усваивают основные вопросы программного содержания, то это повысит качество математических знаний младших школьников и сформулирует у них умение решать комбинаторные задачи.