Введение 4
1. Глава I. Случайные марковские процессы 6
1.1. Процессы с непрерывной траекторией 8
1.2. Чисто разрывные процессы 10
2. Глава II. Уравнения Колмогорова 12
2.1. Частное решение уравнения Колмогорова-Чепмена для непрерывного
процесса. (Пример 1) 12
2.1.1. Об оценке непрерывной функции распределения. (Лемма 1) 12
2.1.2. О связи математической физики и плотности вероятности
перехода. (Утверждения 1, 2) 15
2.2. Частное решение уравнения Колмогорова-Чепмена для
скачкообразного процесса. (Пример 2) 19
2.2.1. Об оценке интеграла. (Лемма 2) 21
2.2.2. Разрывный процесс (Пример 3) 24
2.2.3. Об оценке разрывной функции распределения (Лемма 3) 26
2.2.4. Дополнительная оценка интеграла (Лемма 4) 28
2.2.5. Применение дробных производных в первом и втором уравнениях
Колмогорова. (Утверждение 3, Лемма 5) 31
3. Заключение 34
4. Литература
Купить

При изучении различного рода явлений мы нередко сталкиваемся с теми процессами, течение которых заранее предсказать в точности невозможно. Иными словами, это те процессы, физическая система которых с течением времени переходит из одного состояние в другое случайным образом. Теория случайных процессов в последние десятилетия бурно развивается, потому как является востребованной в таких науках как механика, физика, биология, экономика, социология и в других областях. Особое место среди случайных процессов занимает так называемые марковские случайные процессы, впервые введенные русским ученым А.А.Марковым в 1907г.
Отличительную черту марковского процесса можно сформулировать следующим образом: Если именовать момент t настоящим, а моменты tk ( t 1 < t2 < t з < tm < t) _ прошлым, то зависимость процесса в настоящем только от значений процесса в последний перед настоящим момент времени из прошлого. Итак, марковские процессы отличаются тем, что нам нет необходимости знать "предысторию" состояния системы, а лишь достаточно знать ее "настоящее", и тогда мы сможем предсказать "будущее" состояние системы.
Настоящая работа включает в себя две главы, первая из которых отведена теории марковских процессов с непрерывной и разрывной траекториями, вторая — исследованию примеров, описывающих вышеупомянутые процессы, взятых из статьи [2]. В частности, в качестве примеров, были рассмотрены три частных решения интегрального уравнения Колмогорова-Чепмена и по ним получены уравнения Колмогорова. Среди примеров были взяты решения в виде интеграла без особенности, со слабой особенностью и сингулярный интеграл. Первостепенная цель данной работы — по имеющимся решениям уравнения Колмогорова-Чепмена получить первое и второе уравнения Колмогорова, используя асимптотику и приемы из математической физики. Среди них
уравнения диффузии, интегро-дифференциальные уравнения, с
использованием дробных производных, ранее в теории марковских процессов нам неизвестны, хотя дробные производные в прикладных науках в последнее время нередко встречаются.

Купить