ВВЕДЕНИЕ 3
1 Вспомогательные предложения 7
2 Аналитический обзор 7
2.1 История применения метода 8
2.2 Описание метода 14
2.3 Простые примеры применения метода Галеркина 18
3 Корректность периодической начально-краевой задачи для уравнения
Стокса 22
3.1 Постановка задачи 22
3.2 Основные результаты 23
3.3 Доказательство теоремы 1 25
3.4 Доказательство теоремы 2 25
3.5 Доказательство теоремы 3 25
4 Программная реализация 29
4.1 Выбор среды разработки 29
4.1.1 Описание языка программирования 30
4.2 Описание программной реализации 32
4.3 Проверка работоспособности программного продукта 45
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 54
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 59
ПРИЛОЖЕНИЕ 62

Купить

Исследование краевых задач для параболических уравнений является од-ним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Интерес к этому типу уравнений объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными прак¬тическими приложениями.
Параболические уравнения и системы уравнений являются основой ма-тематических моделей разнообразных процессов: конвекции и диффузии, в том числе уравнение диффузии и его частный случай - уравнение теплопро-водности; движения жидкости и газов, описываемых системой уравнений Навье - Стокса; воздействия электромагнитного поля на заряженные частицы.
Исследование методов решения краевых задач для параболических урав-нений было рассмотрено в работах О.А. Олейник, О.А. Ладыженской, В.П. Ми¬хайлова, В.А. Солонникова, Н.Н. Уральцевой.
Актуальность исследований таких краевых задач обоснована как внут-ренней логикой развития соответствующих разделов теории дифференциаль-ных уравнений в частных производных, так и ясными перспективами исполь-зования этих задач при математическом моделировании различных процессов.
В настоящей работе рассматривается периодическая начально - краевая задача для уравнений Стокса. Такого рода задачи возникают при усреднении дифференциальных уравнений, описывающих процессы фильтрации вязкой жидкости в упругом пористом теле, где пористый скелет представляет собой периодическое повторение ячейки малого размера .
Решение периодической начально - краевой задачи на ячейке необходимо для построения коэффициентов усредненной системы уравнений.
Для поставленной задачи определяется понятие обобщенного решения, получены априорные оценки решения, доказывается корректность. Для обос-нования существования обобщенного решения задачи используется метод Га- лёркина.
Методы Галёркина давно применяются для решения дифференциальных уравнений с частными производными.
К настоящему времени они применены при решении многочисленных за¬дач механики конструкций, динамики сооружений, гидромеханики, теории гидродинамической устойчивости, акустики, магнитной гидродинамики, тео-рии теплообмена, теории распространения микроволн, теории переноса ней-тронов и т.д.
Объектом исследования является нестационарная система Стокса, опи-сывающая движение вязкой жидкости.
Цель работы состоит в доказательстве корректности поставленной зада-чи, и программной реализации с использованием такой среды программирова¬ния как Visual Studio Express и языка на котором будет реализованная програм¬ма C# .
Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд задач:
- изучить литературу по проблеме исследования;
- изучить аналитические и численные методы исследования уравнений параболического типа;
- исследовать разрешимость поставленной задачи;
- разработать программу в среде Visual Studio Express.
Выпускная квалификационная работа изложена на 69 страницах, состоит из введения, заключения, четырех разделов, списка использованных источни¬ков и приложения.
Введение содержит общие сведения о работе, актуальность выбранной темы, объект, цель и задачи.
Первый раздел имеет вспомогательный характер. В нем изложен ряд тео¬ретических понятий и предложений, используемых в основном тексте при ис¬следовании краевых задач для дифференциальных уравнений.
Во втором разделе проводится краткий обзор исследований, связанных с темой работы дается краткое описание схемы метода Галеркина, приведен ряд примеров, иллюстрирующих применение метода.
В третьем разделе рассматривается начально - краевая периодическая за¬дача, моделирующая движение вязкой жидкости. Приводится определение обобщенного решения задачи. Получены априорные оценки решения. Доказана однозначная разрешимость задачи.
В четвертом разделе описывается среда разработки программного при-ложения и язык программирования, программная реализация.
Разработана программа для численного решения поставленной задачи. Здесь мы ограничимся рассмотрением дифференциального уравнения с част-ными производными параболического типа, когда эти уравнения являются ли¬нейными, а искомая функция зависит от двух переменных. В качестве области моделирования рассмотрен канал с квадратным поперечным сечением.
В заключении отражены общие выводы по работе, значимость разра-ботки, достигнутые задачи.
В приложении представлен текст программы и результаты выполнения тестовых расчетов.

Купить