Введение 3
§ 1. Связь граничных значений Гурса с нормальными производными первого порядка 5
§ 2. Граничные значения производных второго и третьего порядка на характеристиках 6
§ 3. Нормальные производные четвертого порядка на характеристике 9
§ 4. Исследование интегральных уравнений в скалярном случае 14
§ 5. Определение граничных значений задачи Гурса через нормальные производные произвольного порядка 19
§ 6. Общая характеристическая задача 23
§ 7. Задача с нормальными производными третьего порядка 24
§ 8. Задача в общей постановке 28
Заключение 31
Список использованной литературы
Рассматривается задача об отыскании решения системы дифференциальных уравнений по линейным соотношениям между нормальными производными от искомых функций на границе области.
Данная тема относится к теории дифференциальных уравнений с доминирующей частной производной, различные вопросы которой исследуются в настоящее время многими математиками. Основателем этой теории
считается итальянский математик Луиджи Бианки, предложивший ещё в
1895 г. вариант распространения метода решения задачи Коши, разработанного в свое время Б. Риманом для уравнения
u
xy + aux + buy + cu = f(x; y)
на уравнение вида где M — линейный дифференциальный оператор, содержащий лишь производные искомой функции, получаемые из первого
слагаемого отбрасыванием по крайней мере одного дифференцирования.
Заметим, что Луиджи Бианки был специалистом не только в области дифференциальных уравнений: Д.Я. Стройк в своей книге по истории
называет его “самым блестящим представителем дифференциальной геометрии в Итали” 19 века.
Актуальность темы. В работах [18] — [20], [16], [22] рассмотрены задачи для гиперболических уравнений с условиями на характеристиках.
Задача с данными на характеристиках представляет большой интерес с
точки зрения физических приложений. Она встречается, например, при
изучении процессов сорбции и десорбции газов, процессов сушки и многих
других задач.
Целью работы является изучение связи граничных значений Гурса
указанного уравнения и нормальных производных функции u(x; y) различных порядков на его характеристиках.
В дипломной работе самостоятельно получено нагруженное интегральное уравнение Вольтерры третьего рода для определения ’(y) через
λ(y) = uxxxx(0; y). Также установлена связь граничного значения задачи
Гурса ’(y) с граничным значением нормальной производной четвертого
порядка.
Рассмотрены общая характеристическая задача с производными в
граничных условиях, задача с нормальными производными третьего порядка, задача в общей постановке.
Анализ интегрального уравнения показывает, что функция ’(y)
определяется через λ(y) с точностью до определенного набора произвольных постоянных.
Видим, что с ростом порядка нормальной производной структура
ядер и свободных членов интегральных уравнений быстро усложняется.
