Помощь студентам в учебе
Задача Римана-Гильберта для эллиптической системы первого порядка на плоскости
|
Введение 1
Глава 1. Вспомогательные ведения 20
1 Эллиптическая система первого порядка 20
2 Функции, аналитические по Дуглису 23
Глава 2. Задача Римана-Гильберта 31
3 Одномерные сингулярные операторы 31
4 Задача Римана—Гильберта 36
Литература
Глава 1. Вспомогательные ведения 20
1 Эллиптическая система первого порядка 20
2 Функции, аналитические по Дуглису 23
Глава 2. Задача Римана-Гильберта 31
3 Одномерные сингулярные операторы 31
4 Задача Римана—Гильберта 36
Литература
Особый интерес многих математиков к эллиптическим системам основан на том, что они играют весьма важную роль в различных вопросах анализа, геометрии и механики.
Самой первой по праву работой по изучению эллиптических задач в областях с угловыми точками считается работа И. Радона [64].
Для случая плоской области с угловыми точками на границе им был применен метод решения уравнений с частными производными путем сведения краевой задачи (Неймана и Дирихле) для оператора Лапласа к интегральным уравнениям на границе области.
Впоследствии метод, предложенный в [64], нашел широкое применение в различных направлениях: в краевых задачах теории функций [51], плоской теории упругости [57], общей теории эллиптических задач [56].
Во второй половине XX-го века теория краевых задач для эллиптических уравнений была изучена в работах многих математиков: S. Agmon [1],, S.Agmon, A. Douglis, L. Nirenberg [4], [5], L. Bers, А. John, M. Schechter [7], F. Browder [9], [10], L. Hormander [21], Ya. A. Roitberg [23]-[26], M. Schechter [27]-[32], М. С. Аграновича, М. И. Вишика [35], И. А. Бикчантаева [36], [37],В.С. Виноградова [42]-[44], М. И. Вишика [45], [46], Л. Р. Волевича [47], А. И. Вольперта [48], [49], Назарова, Б. А. Пламеневского [61], И. Г. Петровского [63], Я. A. Ройтберга [66], Я. A. Ройтберга, З. Г. Шефтеля [67], [68], В. А. Солонникова [81], Р.С. Сакса [69] и многих других.
Одной из основных краевых задач аналитических функций является краевая задача Римана-Гильберта. Первая ее постановка для аналитических функций исторически принадлежит Б. Риману [65]. В 1857 г. он сформулировал задачу следующим образом: найти аналитическую в области Dфункцию по известному соотношению между действительной и мнимой частями на границе области, но не указал способов ее решения.
Полное решение этой задачи в односвязной области, при условии что действительная и мнимая части и и vудовлетворяют на границе условию
Re((o — if)(и + iv'))= аи + fv= 7,
где а2 + f2= 1 дал Гильберт [20]. В связи с этим данную задачу стали называть задачей Римана-Гильберта.
Уже к концу 50-х годов прошлого века в работах русских математиков И.Н. Векуа [41], Ф. Д. Гахова [50], Н. И. Мусхелешвили [60] изучение этой задачи было завершено. В монографии И.Н.Векуа [40] данная проблема рассматривалась для обобщенных аналитических функций и для некоторого класса эллиптических систем двух уравнений. Впоследствии работы многих математиков [39], [42], [49] были направлены на обобщение задачи на общие эллиптические системы 2п уравнений первого порядка. Так Б. Боярским [39] изучается краевая задача для Q—аналитических функций в многосвязных областях, которые являются решением одной эллиптической системы специального вида. В трудах В. С. Виноградова [42] - [44] и А. И. Вольперта [48] изучены краевые задачи в односвязных областях для общих эллиптических систем, получена формула индекса и установлена фредгольмовость. Краевые задачи в односвязной области для однородной эллиптической системы с действительными коэффициентами, порядки производных в краевых условиях которых меньше порядка системы, изучены А.И.Вольпертом [49]. Много интересных результатов для эллиптических систем первого порядка с постоянными коэффициентами были получены Б. Боярским [39], W. Wendland [33], Gilbert R. P., Buchanan J. L [18] и др.
В своей работе Ф. Д. Гахов [50] впервые рассмотрел краевую задачу типа Гильберта для аналитических функций с краевым условием, содержащим производные. К этой задаче приводятся многие задачи теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны, а также задачи безмоментной теории оболочек.
Законченные результаты по краевым задачам для общих эллиптических систем с постоянными коэффициентами можно увидеть в работах А. П. Солдатова [74], [75], [77], [80]. Так в работе [80] изучена краевая задача для эллиптических систем с постоянными матричными коэффициентами, которая охватывает широкий круг локальных и нелокальных краевых задач и предложен метод эквивалентной редукции этой задачи к системе граничных уравнений. Рассмотрения проводились в пространствах с весом для областей с кусочно-гладкой границей. В работе была получена формула индекса задачи, описана асимптотика ее решений в окрестности угловых точек и установлен критерий фредгольмовости.
Новый подход к задачам такого рода, который опирается на априорные оценки был разработан в работе В. А. Кондратьева [53]. Далее на этом направлении [55], [61] получены законченные результаты: сформулированы условия, необходимые и достаточные для фредгольмовости.
Краевая задача для общих эллиптических систем с переменными коэффициентами в ограниченной области с кусочно-гладкой границей рассматривалась в работе М. М. Сиражудинова [71], [72], в которой получена формула индекса и приведены условия фредгольмовости.
Задача о нахождении голоморфной функции в ограниченной области D,которая удовлетворяет условию: значение неизвестной функции в точке у границы области dDсвязано со значением в каждой точке Q(^), Q3D ^ dD—гладкое невырожденное преобразование, Q(Q(y)) = у, где у Е dDбыла рассмотрена T. Carleman [12] в 1932 г. Эта задача сводится к сингулярному интегральному уравнению со сдвигом.
Исследованию общих краевых задач в областях с особенностями на границе типа угловой или конической точки посвящены работы В.Г. Мазья [58] и С.А. Назаров, Б.А. Пламеневский [61]. Эллиптические уравнения с абстрактными нелокальными краевыми условиями изучались в работах М. И. Вишика [46], R. Beals [6], F. Browder [11], M. Schechter [32].
В последние годы прошлого века усилился интерес к решению эллиптических краевых задач путем редукции их к сингулярным уравнениям на границе [57]. Известны два классических способа: метод потенциала и теоретико-функциональный метод. В работах [19], [59] были получены фундаментальные результаты по решению общих эллиптических задач методом потенциала. Отметим работу Я. Б. Лопатинского [56] как одну из первых работ, посвященных краевым задачам для эллиптических систем в двумерной области с угловой точкой. Я. Б. Лопатинским были рассмотрены краевые задачи с постоянными коэффициентами. Используя метод потенциала им были получены условия нормальной разрешимости краевой задачи в пространствах функций, все производные до порядка п включительно которых непрерывны. В дальнейшем метод потенциала для эллиптических систем высокого порядка на плоскости был развит в работах [3], [14], для эллиптических систем с постоянными старшими коэффициентами в работе [15].
Классический теоретико-функциональный метод восходит к трудам А. Пуанкаре, Л. Гильберта, Т. Карлемана, И.И. Привалова. Основываясь на представлении решений эллиптических уравнений через аналитические функции, он позволяет свести исследование исходной задачи к исследованию краевых задач теории функций. И. Н. Векуа в своей работе [41] был развит теоретико-функциональный метод для эллиптических уравнений на плоскости с вещественно аналитическими коэффициентами, для эллиптических систем с постоянными старшими коэффициентами данный метод получил развитие в работах А. В. Бицадзе [38], а также в работах Р. С. Сакса [70].
Отметим, что в представлении А. В. Бицадзе решений эллиптических систем наряду с аналитическими функциями участвуют и ее производные до некоторого порядка. Сравнительно недавно (А. П. Солдатов [73], З. Йех [22]) было обнаружено, что представление А. В. Бицадзе можно существенно упростить, заменив аналитические функции решениями канонических эллиптических систем первого порядка где все собственные значения А постоянной матрицы J Е Clxlлежат в верхней полуплоскости, т.е. имеют положительную мнимую часть.
Как показано А. Дуглисом [13], все элементы теории аналитических функций распространяются и на решения этой системы.
Можно сказать, что по отношению к эллиптическим уравнениям и системам с постоянными (и только старшими) коэффициентами эти функции играют ту же роль, что и аналитические функции по отношению к уравнению Лапласса. Аналогичные свойства выявлены в работах Н. А. Жура [54] и для систем, эллиптических по Дуглису - Ниренбергу, а также для систем, гиперболических по Лере и Петровскому.
Теория эллиптических систем первого порядка для случая I = 2 получила законченный вид в трудах И. Н. Векуа [41] и Л. Берса [8] и известна под названием теории обобщенных аналитических функций.
Дальнейшее распространение: I > 2, проявилось в работах Б. В. Боярского [39], Р. Гилберта [16], Р. Гилберта, Г. Хилла [17] и др.
Важные результаты для общих эллиптических задач на плоскости методом, близким к теоретико-функциональному, получены А. И. Вольпертом [49].
В представленной работе в конечной области Dкомплексной плоскости C переменной zрассматривается эллиптическая система I линейных дифференциальных уравнений первого порядка
д д
— —A— U (z) + a(z )U (z) + b(z )U (z) = F (z)
где I х I—матричные коэффициенты a(z), b(z)и I—вектор-функция F(z) принадлежат классу С(D) и матрица А Е Clxlпостоянна.
Для этой системы рассматривается задача Римана-Гильберта
Re С(t)U(t)+|г= f (t), (0.2)
где I х I матрица-функция С(t) принадлежит классу Гельдера Сv(Г) с показателем 0 <а< 1 и I—вектор-функция f (t) G С(D).
В предположении F(z) G СМ(Р), f(t) G См(Г), // <а задача исследуется в классе
<СА(D) = {U(z) G С1(D) п С‘(Л), LAU(z) G С>‘(Л)}, (0.3)
где введено обозначение
Цель исследования: доказать фредгольмову разрешимость задачи Римана-Гильберта (0.1)-(0.2) в классе (0.3) и найти формулу ее индекса с помощью интегралов типа Коши.
Для достижения поставленной цели необходимо:
- показать, что пространство С^(Р) банахово относительно соответствующей нормы;
- получить представление для функции ф(г) из класса ^(D);
- свести исходную задачу к системе сингулярных интегральных уравнений;
Объектом исследования являются краевые задачи для эллиптических систем первого порядка на плоскости.
Предметом исследования - задача Римана-Гильберта (0.2) для эллиптической системы (0.1) в классе (0.3).
Представленная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка используемой литературы (83 наименований).В пределах каждой главы принята сквозная нумерация параграфов и формул. Теоремы и леммы нумеруются двумя цифрами, первая из которых указывает на номер параграфа, а вторая - на номер теоремы (леммы) внутри параграфа.
Во введении приведен краткий исторический обзор по теме магистерской диссертации, обосновывается актуальность выбранной темы исследования, формулируется цель, объект и предмет исследования, описывается структура работы и кратко излагается содержание основных результатов.
Первая глава магистерской диссертации содержит предварительные сведения, касающиеся эллиптических систем первого порядка и функций, аналитических по Дуглису.
В первом параграфе в области Dкомплексной плоскости C переменной zрассматривается система I линейных дифференциальных уравнений первого порядка
А1 А(4 + A, AC + a(z)U(z) + b(z)U(Z) = F(z), z ё D, dx dy
где коэффициенты при старших членах — постоянные матрицы А1, А2ё Clxl, а I х I—матричные коэффициенты a(z), b(z) ё С(D)и F(z) ё С(D).
По определению система эллиптична, если для каждого ненулевого вектора £ = (£1,£2) ё R2, выполнено det(£1A1+ £2Д2) = 0, тогда матрица А = — А—1А1 не имеет вещественных собственных значений и предыдущую систему всегда можно представить в эквивалентном виде (0.1)
Пусть 11 и 12 число собственных значений матрицы А системы (0.1) (с учетом кратности), лежащих, соответственно, в верхней и нижней полуплоскости, при этом I = 11 + 12. Множество всех собственных значений можно записать в виде
а = а1U а2, С {A, Im А > 0},
где черта означает комплексное сопряжение.
С помощью подходящей обратимой линейной подстановки систему (0.1) всегда можно преобразовать к каноническому виду, т.е. к аналогичной системе, в которой все собственные значения матрицы системы лежат в верхней полуплоскости. В основе этого преобразования лежит следующее предложение
Лемма 1.1. Существуют такие обратимые Iх I матрицы В, J блочной структуры
В11 В12 J[ Ji 0
В21 В22) 0 J2
где Вц Е CliXl^, JiЕ CliXli,i,j = 1, 2, что
J1 0
В—1АВ = J, J =I _ 0 J 2
Матрицы Ji Е CliXliимеют жорданову форму, при этом их диагональные элементы составляют множество ai.
В конце параграфа сформулирована и доказана теорема, которая позволяет привести общую эллиптическую систему (0.1) к каноническому виду эллиптической системы с треугольной матрицей J.
Теорема 1.1 В обозначениях (0.4) подстановка В—1U = (ф1,ф2), или в блочной записи, подстановка
Ui = Вцф1+^2ф2, i= 1, 2,
преобразует систему (0.1) к эквивалентной системе
дф(г) - J^(z)+ c(z)ф(с) + d(z^(z) = Fo, (0.5)
ду дх
где I х I—матричные коэффициенты имеют вид
Второй параграф посвящен функциям, аналитическим по Дуглису.
Напомним, что система Дуглиса имеет вид где все собственные значения А матрицы J Е Clxlлежат в верхней полуплоскости, т.е. имеют положительную мнимую часть. Очевидно, эта система получается из (0.5) в предположении с = d= F0= 0 и Z =Z1, Z2= 0. Именное название системы оправдано, так как в предположении теплицевой матрицы J[52] она впервые была изучена А. Дуглисом [13] в рамках так называемых гиперкомплексных чисел.
В общем случае в уравнении (0.6) матрицу J можно выбрать с точностью до подобия и подчинить различным дополнительным требованиям. Например, J можно считать жордановой матрицей, или, более общим образом, треугольной матрицей.
Для того, чтобы подчеркнуть зависимость от J, Z—вектор-функцию ф(ух) = (ф1 Д),...,ф[(z)), являющуюся решением системы Дуглиса (0.6), называем также J—аналитической функцией.
Эту функцию будем рассматриваем в конечной области D,ограниченной гладким контуром Г, который предполагается ориентированным положительно по отношению к области D, т.е. движение по Г в выбранном направлении оставляет область D слева. Саму область D называем конечной, если она лежит внутри некоторого круга.
Основные сведения, касающиеся системы Дуглиса (0.6) подробно изложены в [78]. Напомним некоторые из них, основанные на аналогах теоремы и формулы Коши для решений этих систем.
С каждым комплексным числом z = х + iyсвяжем Z х Z—матрицу
zj= х • 1 + у • J, х, y G R, собственными значениями которой служат числа х + Ху, где A G a(J), а 1—единичная матрица. В частности, при z = 0 эта матрица обратима.
Аналогом интегральной теоремы Коши для J—аналитической в конечной области D вектор-функции ф(ух)G С(D)является равенство
dzjф(Д) = 0.
Здесь (Z х Z)—матричный дифференциал dzj, определяемый аналогично zj,
действует на I—вектор ф обычным образом и потому поставлен впереди. Это равенство является очевидным следствием системы (0.6) и формулы Грина.
Аналогом интегральной формулы Коши является обобщенная
(t — z)—1dtjфЦ) = ^>(z), z G D. г
Граничные свойства в классах Гельдера интеграла типа Коши
определяющего аналитическую в D функцию, хорошо известны [60].
Напомним, что функция р удовлетворяет условию Гельдера с показателем д, 0 < д < 1, на некотором множестве Е комплексной плоскости, если существует такая постоянная С > 0, что ^z1) —^(z2)| <Сz1— z2|м для любых z1,z2G Е. Наименьшая постоянная С в этой оценке совпадает с
полунормой Ы su ИЫ —y(z2)| LAI, sup1 1,. ,
|z1 — z2 V
где верхняя грань берется по точкам zj G Е. Класс ограниченных функций, удовлетворяющих этому условию, обозначается СДЕ), относительно нормы
|^| = supp(z)| + [<д],
он является банаховым пространством [79]. Заметим, что элементы р этого пространства продолжаются до функций р G СДЕ) с сохранением Ср норм, так что множество Е всегда можно считать замкнутым.
Отметим, что семейство банаховых пространств СМ(Е) монотонно убывает по д в смысле вложений, причем в случае ограниченного множества Е вложение С!,/(Е) С Ср(Е) при д <и компактно.
Если Е является замкнутой областью D, то можно ввести пространство С 1,M(D) непрерывно дифференцируемых в D функций, которые вместе со своими частными производными принадлежат ^(D).
В соответствии с обобщенной формулой Коши можно ввести обобщенный интеграл типа Коши
с произвольной I—вектор-функцией (^1, ..., pi) G С (Г) и матричным дифференциалом dtj = dti+ Jdt2.
Этот интеграл определяет функцию, J—аналитическую вне кривой Г.
С ним также связан обобщенный сингулярный интеграл
(t — to)—1dtjp(t), to G Г, г
который понимается обычным образом в смысле главного значения по Коши.
Для этих интегралов справедлив результат [77], аналогичный классическому случаю. Единственное отличие состоит в том, что на контур Г необходимо наложить дополнительное условие гладкости.
Обозначим e(t) = e1 (t) + ie2(t)единичный касательный вектор к Г в точек t, направление которого согласовано с ориентацией контура. Его можно рассматривать как непрерывную функцию на Г. По определению Г называют ляпуновским контуром, если эта функция удовлетворяет условию Гельдера. Более точно, этот контур принадлежит классу С1’^, если функция e(t) G С 1’v(Г), p
2(ljр)+(to) = p(to) + SJp(to) to GГ.
В завершение второго параграфа приведена теорема о представлении J—аналитических функций обобщенными интегралами типа Коши с вещественной плотностью, которая является аналогом известной теоремы Н.И. Мусхелишвили [60] о представлении для аналитических функций.
Теорема 2.3. Пусть область D конечна и ограничена гладким контуром Г. Тогда любая J — аналитическая в D функция
с некоторой вещественной I—вектор-функцией p(t) Е СМ(Г) и вещественным I—вектором £ ЕR.
Третий параграф второй главы посвящен одномерным сингулярным операторам.
Напомним [62], что оператор N, ограниченный в банаховых пространствах X ^ Y, фредгольмов, если подпространство {х Е X, Nx = 0}, называемое его ядром ker N, конечномерно, образ im N = N(X) замкнут в Y и фактор-пространство Y/im N, называемое его коядром coker N, также конечномерно. Удобно для краткости размерности dim(ker N) и dim(coker N) обозначать, соответственно, dim N и codim N.
Целое число ind N = dimN — codimN называется индексом оператора
N. Коядро coker N = Y/im N часто отождествляется с ядром ker N * сопряженного оператора N*.
Следующая теорема сдержит основные свойства фредгольмовых опера-торов [62].
Теорема 3.1. (а) Произведение N1N2 двух фредгольмовых операторов есть также фредгольмовый оператор индексаind (N1N2) = ind N1 +ind N2.
(b) Сумма фредгольмого и компактного оператора есть фредгольмовый оператор того же индекса. В частности, если оператор N0 компактен в X, то оператор N= 1 + No фредгольмов и его индекс равен нулю.
(c) Оператор N : X ^ Y фредгольмов тогда и только тогда, когда существует такой фредгольмовый оператор М : Y ^ X, что MN= 1 + Ni, NM= 1 + N2, где операторы N1 и N2 компактны в, соответственно, X и Y.
(d) Сумма фредгольмого и ограниченного оператора достаточно малой нормы есть фредгольмовый оператор того же индекса.
(e) Пусть оператор N: X ^ Y фредгольмов и оператор N: X х Ст^ Y х Спдействует по формуле N(хД) = (у,у), где
У = Nx+ 22 а3ф, у = фх + 22,-=1С&,1- i-п,
с некоторыми dj Е Y и ограниченными линейными функционалами bi Е X*. Тогда оператор N фредгольмов и его индексind N =ind N+ т — п.
Исходя из I х I—матриц-функций а, Ъ Е СДГ), рассмотрим сингулярный оператор
2N = а(1 + S) + Ъ(1 — S)+ 2No, (0.8)
где а и Ъ понимаются как операторы умножения р ^ ар, оператор N0ком¬пактен в пространстве СМ(Г) и 1—единичный оператор. По определению N принадлежит к нормальному типу, если матрицы-функции а и Ъ обратимы, т.е. det a(t) = 0 для всех t Е Г и аналогичным свойством обладает Ъ.
Согласно [79] класс всех ограниченных операторов N: X ^ Yявляется векторным пространством, которое обозначим C(X,Y). При X = Yпишем кратно £(X). Следующая лемма имеет важное значение, так как используется при доказательстве основной теоремы магистерской диссертации.
Лемма 3.1. Пусть X = X1 х ... х Xnи оператор N Е £(X) представляется треугольной п х п—матрицей (Nij), Nij Е £(Xj,X), например Nij= 0 при i
Приведем результаты классической теории сингулярных уравнений [60].
Теорема 3.2. Пусть матрицы-функции a,b Е С1'(Г) и оператор N0 компактен в пространстве С^(Т). Тогда оператор (0.8) фредгольмов в пространстве СДГ) тогда и только тогда, когда матрицы a,b обратимы и его индекс дается формулой
_ det b
ln,
det г
где[ ]г означает приращение непрерывной ветви логарифма на контуре Г в соответствии с заданной его ориентацией.
Примером компактного оператора в См(Г) служит интегральный оператор вида
(Kp)(t0) = — k(to,tp(t)dt, t0Е Г,(0.9)%г J t -10
где функция k(t0,t) Е Сv(Г х Г) с некоторым и>у и обращается в нуль
при t = t0. Очевидно, ядро k(t0,t)(t — t0)-1этого оператора имеет слабую особенность и потому интеграл понимается в обычном смысле.
Следующая лемма дает критерий компактности оператора этого вида.
Лемма 3.2. Пусть функцияk(t0,t) Е С1'(Г х Г), 0 <у < и < 1, и выполнено условие
k(t, t) = 0, t Е Г.
Тогда оператор K ограничен С (Г) ^ Ср(Г) и, в частности, компактен в С ЦТ).
Если контур Г Е С1’^, то в соответствии с теоремой 2.2 сингулярный оператор Sjограничен в пространстве СМ(Г). Более того справедлива следующая лемма.
Лемма 3.3. Пусть Г Е С1’^, тогда оператор K= Sj — S удовлетворяет условиям леммы 3.2.
Далее в этом параграфе показана связь операторов (0.8) с комплексным сопряжением y(t) ^ y(t).
Для оператора К вида (0.9) оператор К имеет тот же вид с функцией
*Ы) = —.
(t70)е(7)
Аналогично для сингулярного оператора Коши Sоператор Sзаписывается в форме (0.9) с
, / ч (7 — to)e(t)
к^ = —t t , t •
Что касается оператора Sj, то, очевидно, он совпадает с —Sj и справедлив следующий результат.
Лемма 3.4. Пусть Г G С, тогда вместе с оператором К вида (0.9) условию леммы 3.2 удовлетворяет и оператор К. Кроме того, каждый из операторов S+ S и Sj+ Sj представим в виде (0.9) и удовлетворяет усло¬виям этой леммы.
Обозначим CR(Г) соответствующее пространство вещественных I— век- тор-функций. Если ограниченный в СМ(Г) оператор Nобладает свойством
N =N,
то он действует как R— линейный оператор NRв пространстве CR(Г) вещественных функций. В случае его фредгольмовости индекс этого оператора понимается, конечно, по отношению к размерностям над полем R.
Лемма 3.5. Операторы N иNRсвойством фредгольмовости обладают одновременно и их индексы совпадают.
Следующий результат, который дает теорема 3.2. совместно с леммой 3.5 завершает третий параграф второй главы.
Теорема 3.3. Пусть контур Г G С, матрица-функции G(t) Е Cv(Г) и оператор N0компактен в пространстве СМ(Г). Тогда оператор
Rp =Re[G(^ + Sp+ Nop)]
Фредгольмов в пространствеC-R(r) тогда и только тогда, когда матрица
G обратима, и его индекс дается формулой
ind R = ——[arg det G] г
л
где приращение [ ]гвдоль Г берется в направлении, оставляющем область D слева.
В заключительном четвертом параграфе рассматривается задача Римана-Гильберта для общей эллиптической системы (0.1) в конечной области D Е С, ограниченной гладким контуром Г Е С 1^, 0
/ С11 С12
С = ( I , где С., Е С*х‘>i,j= 1,2.
С21 С22
Предполагая, что матрица-функция С(t) принадлежит классу Сv(Г), задача ставится краевым условием (0.2).
Если матричные коэффициенты а,Ъ Е ^(D), р< V а правые части F Е ^(D), f Е СМ(Г), то задачу (0.1)-(0.2) естественно рассматривать в классе (0.3)
В параграфе доказано, что пространство Сд(D)банахово относительно нормы
Uс^ (D) = 1^ сДЛ) 'ВА Uфм(р).
Как обычно, задачу (0.1)-(0.2) будем называть фредгольмовой, если фредгольмов ее оператор, действующий С)(D) ^ O^(D') х СМ(Г).
Напомним, что согласно лемме 1.1 матрица В Е С1х1 имеет следующую блочную структуру
/ В11 В12 , ,
В =I _ I , В,, Е С1‘хЛ>,i,j= 1,2.
В21 В22
Рассмотрим I хZ—матрицу-функцию G(t) c блочными элементами вида
Gi1 = С,1В11 + С,2В21 Gi2 = С,1В12 + С,2В22 б =1,2
В заключении доказывается основная теорема магистерской диссертации о фредгольмовой разрешимости задачи Римана-Гильберта (0.1)-(0.2) в классе (0.3).
Теорема 4.1. Пусть область D конечна, ограничена гладким контуром Г Е С1’^ и матрица-функция С(t) Е Cv(Г). Пусть Iх I—матричные коэффициенты a(z), b(z) Е C^(D), а правые части системы (0.1) и краевого условия (0.2) принадлежат соответственно F(z) Е C^(D), f (t) Е См(Г). Тогда условие обратимости
det G(t)= 0, t Е Г необходимо и достаточно для фредгольмовости задачи (0.1)-(0.2) в классе (0.3) и ее индекс дается формулой
ю = ——[arg det G]r + I, л
где приращение [ ]г берется в направлении, оставляющем область D слева.
Самой первой по праву работой по изучению эллиптических задач в областях с угловыми точками считается работа И. Радона [64].
Для случая плоской области с угловыми точками на границе им был применен метод решения уравнений с частными производными путем сведения краевой задачи (Неймана и Дирихле) для оператора Лапласа к интегральным уравнениям на границе области.
Впоследствии метод, предложенный в [64], нашел широкое применение в различных направлениях: в краевых задачах теории функций [51], плоской теории упругости [57], общей теории эллиптических задач [56].
Во второй половине XX-го века теория краевых задач для эллиптических уравнений была изучена в работах многих математиков: S. Agmon [1],, S.Agmon, A. Douglis, L. Nirenberg [4], [5], L. Bers, А. John, M. Schechter [7], F. Browder [9], [10], L. Hormander [21], Ya. A. Roitberg [23]-[26], M. Schechter [27]-[32], М. С. Аграновича, М. И. Вишика [35], И. А. Бикчантаева [36], [37],В.С. Виноградова [42]-[44], М. И. Вишика [45], [46], Л. Р. Волевича [47], А. И. Вольперта [48], [49], Назарова, Б. А. Пламеневского [61], И. Г. Петровского [63], Я. A. Ройтберга [66], Я. A. Ройтберга, З. Г. Шефтеля [67], [68], В. А. Солонникова [81], Р.С. Сакса [69] и многих других.
Одной из основных краевых задач аналитических функций является краевая задача Римана-Гильберта. Первая ее постановка для аналитических функций исторически принадлежит Б. Риману [65]. В 1857 г. он сформулировал задачу следующим образом: найти аналитическую в области Dфункцию по известному соотношению между действительной и мнимой частями на границе области, но не указал способов ее решения.
Полное решение этой задачи в односвязной области, при условии что действительная и мнимая части и и vудовлетворяют на границе условию
Re((o — if)(и + iv'))= аи + fv= 7,
где а2 + f2= 1 дал Гильберт [20]. В связи с этим данную задачу стали называть задачей Римана-Гильберта.
Уже к концу 50-х годов прошлого века в работах русских математиков И.Н. Векуа [41], Ф. Д. Гахова [50], Н. И. Мусхелешвили [60] изучение этой задачи было завершено. В монографии И.Н.Векуа [40] данная проблема рассматривалась для обобщенных аналитических функций и для некоторого класса эллиптических систем двух уравнений. Впоследствии работы многих математиков [39], [42], [49] были направлены на обобщение задачи на общие эллиптические системы 2п уравнений первого порядка. Так Б. Боярским [39] изучается краевая задача для Q—аналитических функций в многосвязных областях, которые являются решением одной эллиптической системы специального вида. В трудах В. С. Виноградова [42] - [44] и А. И. Вольперта [48] изучены краевые задачи в односвязных областях для общих эллиптических систем, получена формула индекса и установлена фредгольмовость. Краевые задачи в односвязной области для однородной эллиптической системы с действительными коэффициентами, порядки производных в краевых условиях которых меньше порядка системы, изучены А.И.Вольпертом [49]. Много интересных результатов для эллиптических систем первого порядка с постоянными коэффициентами были получены Б. Боярским [39], W. Wendland [33], Gilbert R. P., Buchanan J. L [18] и др.
В своей работе Ф. Д. Гахов [50] впервые рассмотрел краевую задачу типа Гильберта для аналитических функций с краевым условием, содержащим производные. К этой задаче приводятся многие задачи теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны, а также задачи безмоментной теории оболочек.
Законченные результаты по краевым задачам для общих эллиптических систем с постоянными коэффициентами можно увидеть в работах А. П. Солдатова [74], [75], [77], [80]. Так в работе [80] изучена краевая задача для эллиптических систем с постоянными матричными коэффициентами, которая охватывает широкий круг локальных и нелокальных краевых задач и предложен метод эквивалентной редукции этой задачи к системе граничных уравнений. Рассмотрения проводились в пространствах с весом для областей с кусочно-гладкой границей. В работе была получена формула индекса задачи, описана асимптотика ее решений в окрестности угловых точек и установлен критерий фредгольмовости.
Новый подход к задачам такого рода, который опирается на априорные оценки был разработан в работе В. А. Кондратьева [53]. Далее на этом направлении [55], [61] получены законченные результаты: сформулированы условия, необходимые и достаточные для фредгольмовости.
Краевая задача для общих эллиптических систем с переменными коэффициентами в ограниченной области с кусочно-гладкой границей рассматривалась в работе М. М. Сиражудинова [71], [72], в которой получена формула индекса и приведены условия фредгольмовости.
Задача о нахождении голоморфной функции в ограниченной области D,которая удовлетворяет условию: значение неизвестной функции в точке у границы области dDсвязано со значением в каждой точке Q(^), Q3D ^ dD—гладкое невырожденное преобразование, Q(Q(y)) = у, где у Е dDбыла рассмотрена T. Carleman [12] в 1932 г. Эта задача сводится к сингулярному интегральному уравнению со сдвигом.
Исследованию общих краевых задач в областях с особенностями на границе типа угловой или конической точки посвящены работы В.Г. Мазья [58] и С.А. Назаров, Б.А. Пламеневский [61]. Эллиптические уравнения с абстрактными нелокальными краевыми условиями изучались в работах М. И. Вишика [46], R. Beals [6], F. Browder [11], M. Schechter [32].
В последние годы прошлого века усилился интерес к решению эллиптических краевых задач путем редукции их к сингулярным уравнениям на границе [57]. Известны два классических способа: метод потенциала и теоретико-функциональный метод. В работах [19], [59] были получены фундаментальные результаты по решению общих эллиптических задач методом потенциала. Отметим работу Я. Б. Лопатинского [56] как одну из первых работ, посвященных краевым задачам для эллиптических систем в двумерной области с угловой точкой. Я. Б. Лопатинским были рассмотрены краевые задачи с постоянными коэффициентами. Используя метод потенциала им были получены условия нормальной разрешимости краевой задачи в пространствах функций, все производные до порядка п включительно которых непрерывны. В дальнейшем метод потенциала для эллиптических систем высокого порядка на плоскости был развит в работах [3], [14], для эллиптических систем с постоянными старшими коэффициентами в работе [15].
Классический теоретико-функциональный метод восходит к трудам А. Пуанкаре, Л. Гильберта, Т. Карлемана, И.И. Привалова. Основываясь на представлении решений эллиптических уравнений через аналитические функции, он позволяет свести исследование исходной задачи к исследованию краевых задач теории функций. И. Н. Векуа в своей работе [41] был развит теоретико-функциональный метод для эллиптических уравнений на плоскости с вещественно аналитическими коэффициентами, для эллиптических систем с постоянными старшими коэффициентами данный метод получил развитие в работах А. В. Бицадзе [38], а также в работах Р. С. Сакса [70].
Отметим, что в представлении А. В. Бицадзе решений эллиптических систем наряду с аналитическими функциями участвуют и ее производные до некоторого порядка. Сравнительно недавно (А. П. Солдатов [73], З. Йех [22]) было обнаружено, что представление А. В. Бицадзе можно существенно упростить, заменив аналитические функции решениями канонических эллиптических систем первого порядка где все собственные значения А постоянной матрицы J Е Clxlлежат в верхней полуплоскости, т.е. имеют положительную мнимую часть.
Как показано А. Дуглисом [13], все элементы теории аналитических функций распространяются и на решения этой системы.
Можно сказать, что по отношению к эллиптическим уравнениям и системам с постоянными (и только старшими) коэффициентами эти функции играют ту же роль, что и аналитические функции по отношению к уравнению Лапласса. Аналогичные свойства выявлены в работах Н. А. Жура [54] и для систем, эллиптических по Дуглису - Ниренбергу, а также для систем, гиперболических по Лере и Петровскому.
Теория эллиптических систем первого порядка для случая I = 2 получила законченный вид в трудах И. Н. Векуа [41] и Л. Берса [8] и известна под названием теории обобщенных аналитических функций.
Дальнейшее распространение: I > 2, проявилось в работах Б. В. Боярского [39], Р. Гилберта [16], Р. Гилберта, Г. Хилла [17] и др.
Важные результаты для общих эллиптических задач на плоскости методом, близким к теоретико-функциональному, получены А. И. Вольпертом [49].
В представленной работе в конечной области Dкомплексной плоскости C переменной zрассматривается эллиптическая система I линейных дифференциальных уравнений первого порядка
д д
— —A— U (z) + a(z )U (z) + b(z )U (z) = F (z)
где I х I—матричные коэффициенты a(z), b(z)и I—вектор-функция F(z) принадлежат классу С(D) и матрица А Е Clxlпостоянна.
Для этой системы рассматривается задача Римана-Гильберта
Re С(t)U(t)+|г= f (t), (0.2)
где I х I матрица-функция С(t) принадлежит классу Гельдера Сv(Г) с показателем 0 <а< 1 и I—вектор-функция f (t) G С(D).
В предположении F(z) G СМ(Р), f(t) G См(Г), // <а задача исследуется в классе
<СА(D) = {U(z) G С1(D) п С‘(Л), LAU(z) G С>‘(Л)}, (0.3)
где введено обозначение
Цель исследования: доказать фредгольмову разрешимость задачи Римана-Гильберта (0.1)-(0.2) в классе (0.3) и найти формулу ее индекса с помощью интегралов типа Коши.
Для достижения поставленной цели необходимо:
- показать, что пространство С^(Р) банахово относительно соответствующей нормы;
- получить представление для функции ф(г) из класса ^(D);
- свести исходную задачу к системе сингулярных интегральных уравнений;
Объектом исследования являются краевые задачи для эллиптических систем первого порядка на плоскости.
Предметом исследования - задача Римана-Гильберта (0.2) для эллиптической системы (0.1) в классе (0.3).
Представленная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка используемой литературы (83 наименований).В пределах каждой главы принята сквозная нумерация параграфов и формул. Теоремы и леммы нумеруются двумя цифрами, первая из которых указывает на номер параграфа, а вторая - на номер теоремы (леммы) внутри параграфа.
Во введении приведен краткий исторический обзор по теме магистерской диссертации, обосновывается актуальность выбранной темы исследования, формулируется цель, объект и предмет исследования, описывается структура работы и кратко излагается содержание основных результатов.
Первая глава магистерской диссертации содержит предварительные сведения, касающиеся эллиптических систем первого порядка и функций, аналитических по Дуглису.
В первом параграфе в области Dкомплексной плоскости C переменной zрассматривается система I линейных дифференциальных уравнений первого порядка
А1 А(4 + A, AC + a(z)U(z) + b(z)U(Z) = F(z), z ё D, dx dy
где коэффициенты при старших членах — постоянные матрицы А1, А2ё Clxl, а I х I—матричные коэффициенты a(z), b(z) ё С(D)и F(z) ё С(D).
По определению система эллиптична, если для каждого ненулевого вектора £ = (£1,£2) ё R2, выполнено det(£1A1+ £2Д2) = 0, тогда матрица А = — А—1А1 не имеет вещественных собственных значений и предыдущую систему всегда можно представить в эквивалентном виде (0.1)
Пусть 11 и 12 число собственных значений матрицы А системы (0.1) (с учетом кратности), лежащих, соответственно, в верхней и нижней полуплоскости, при этом I = 11 + 12. Множество всех собственных значений можно записать в виде
а = а1U а2, С {A, Im А > 0},
где черта означает комплексное сопряжение.
С помощью подходящей обратимой линейной подстановки систему (0.1) всегда можно преобразовать к каноническому виду, т.е. к аналогичной системе, в которой все собственные значения матрицы системы лежат в верхней полуплоскости. В основе этого преобразования лежит следующее предложение
Лемма 1.1. Существуют такие обратимые Iх I матрицы В, J блочной структуры
В11 В12 J[ Ji 0
В21 В22) 0 J2
где Вц Е CliXl^, JiЕ CliXli,i,j = 1, 2, что
J1 0
В—1АВ = J, J =I _ 0 J 2
Матрицы Ji Е CliXliимеют жорданову форму, при этом их диагональные элементы составляют множество ai.
В конце параграфа сформулирована и доказана теорема, которая позволяет привести общую эллиптическую систему (0.1) к каноническому виду эллиптической системы с треугольной матрицей J.
Теорема 1.1 В обозначениях (0.4) подстановка В—1U = (ф1,ф2), или в блочной записи, подстановка
Ui = Вцф1+^2ф2, i= 1, 2,
преобразует систему (0.1) к эквивалентной системе
дф(г) - J^(z)+ c(z)ф(с) + d(z^(z) = Fo, (0.5)
ду дх
где I х I—матричные коэффициенты имеют вид
Второй параграф посвящен функциям, аналитическим по Дуглису.
Напомним, что система Дуглиса имеет вид где все собственные значения А матрицы J Е Clxlлежат в верхней полуплоскости, т.е. имеют положительную мнимую часть. Очевидно, эта система получается из (0.5) в предположении с = d= F0= 0 и Z =Z1, Z2= 0. Именное название системы оправдано, так как в предположении теплицевой матрицы J[52] она впервые была изучена А. Дуглисом [13] в рамках так называемых гиперкомплексных чисел.
В общем случае в уравнении (0.6) матрицу J можно выбрать с точностью до подобия и подчинить различным дополнительным требованиям. Например, J можно считать жордановой матрицей, или, более общим образом, треугольной матрицей.
Для того, чтобы подчеркнуть зависимость от J, Z—вектор-функцию ф(ух) = (ф1 Д),...,ф[(z)), являющуюся решением системы Дуглиса (0.6), называем также J—аналитической функцией.
Эту функцию будем рассматриваем в конечной области D,ограниченной гладким контуром Г, который предполагается ориентированным положительно по отношению к области D, т.е. движение по Г в выбранном направлении оставляет область D слева. Саму область D называем конечной, если она лежит внутри некоторого круга.
Основные сведения, касающиеся системы Дуглиса (0.6) подробно изложены в [78]. Напомним некоторые из них, основанные на аналогах теоремы и формулы Коши для решений этих систем.
С каждым комплексным числом z = х + iyсвяжем Z х Z—матрицу
zj= х • 1 + у • J, х, y G R, собственными значениями которой служат числа х + Ху, где A G a(J), а 1—единичная матрица. В частности, при z = 0 эта матрица обратима.
Аналогом интегральной теоремы Коши для J—аналитической в конечной области D вектор-функции ф(ух)G С(D)является равенство
dzjф(Д) = 0.
Здесь (Z х Z)—матричный дифференциал dzj, определяемый аналогично zj,
действует на I—вектор ф обычным образом и потому поставлен впереди. Это равенство является очевидным следствием системы (0.6) и формулы Грина.
Аналогом интегральной формулы Коши является обобщенная
(t — z)—1dtjфЦ) = ^>(z), z G D. г
Граничные свойства в классах Гельдера интеграла типа Коши
определяющего аналитическую в D функцию, хорошо известны [60].
Напомним, что функция р удовлетворяет условию Гельдера с показателем д, 0 < д < 1, на некотором множестве Е комплексной плоскости, если существует такая постоянная С > 0, что ^z1) —^(z2)| <Сz1— z2|м для любых z1,z2G Е. Наименьшая постоянная С в этой оценке совпадает с
полунормой Ы su ИЫ —y(z2)| LAI, sup1 1,. ,
|z1 — z2 V
где верхняя грань берется по точкам zj G Е. Класс ограниченных функций, удовлетворяющих этому условию, обозначается СДЕ), относительно нормы
|^| = supp(z)| + [<д],
он является банаховым пространством [79]. Заметим, что элементы р этого пространства продолжаются до функций р G СДЕ) с сохранением Ср норм, так что множество Е всегда можно считать замкнутым.
Отметим, что семейство банаховых пространств СМ(Е) монотонно убывает по д в смысле вложений, причем в случае ограниченного множества Е вложение С!,/(Е) С Ср(Е) при д <и компактно.
Если Е является замкнутой областью D, то можно ввести пространство С 1,M(D) непрерывно дифференцируемых в D функций, которые вместе со своими частными производными принадлежат ^(D).
В соответствии с обобщенной формулой Коши можно ввести обобщенный интеграл типа Коши
с произвольной I—вектор-функцией (^1, ..., pi) G С (Г) и матричным дифференциалом dtj = dti+ Jdt2.
Этот интеграл определяет функцию, J—аналитическую вне кривой Г.
С ним также связан обобщенный сингулярный интеграл
(t — to)—1dtjp(t), to G Г, г
который понимается обычным образом в смысле главного значения по Коши.
Для этих интегралов справедлив результат [77], аналогичный классическому случаю. Единственное отличие состоит в том, что на контур Г необходимо наложить дополнительное условие гладкости.
Обозначим e(t) = e1 (t) + ie2(t)единичный касательный вектор к Г в точек t, направление которого согласовано с ориентацией контура. Его можно рассматривать как непрерывную функцию на Г. По определению Г называют ляпуновским контуром, если эта функция удовлетворяет условию Гельдера. Более точно, этот контур принадлежит классу С1’^, если функция e(t) G С 1’v(Г), p
2(ljр)+(to) = p(to) + SJp(to) to GГ.
В завершение второго параграфа приведена теорема о представлении J—аналитических функций обобщенными интегралами типа Коши с вещественной плотностью, которая является аналогом известной теоремы Н.И. Мусхелишвили [60] о представлении для аналитических функций.
Теорема 2.3. Пусть область D конечна и ограничена гладким контуром Г. Тогда любая J — аналитическая в D функция
с некоторой вещественной I—вектор-функцией p(t) Е СМ(Г) и вещественным I—вектором £ ЕR.
Третий параграф второй главы посвящен одномерным сингулярным операторам.
Напомним [62], что оператор N, ограниченный в банаховых пространствах X ^ Y, фредгольмов, если подпространство {х Е X, Nx = 0}, называемое его ядром ker N, конечномерно, образ im N = N(X) замкнут в Y и фактор-пространство Y/im N, называемое его коядром coker N, также конечномерно. Удобно для краткости размерности dim(ker N) и dim(coker N) обозначать, соответственно, dim N и codim N.
Целое число ind N = dimN — codimN называется индексом оператора
N. Коядро coker N = Y/im N часто отождествляется с ядром ker N * сопряженного оператора N*.
Следующая теорема сдержит основные свойства фредгольмовых опера-торов [62].
Теорема 3.1. (а) Произведение N1N2 двух фредгольмовых операторов есть также фредгольмовый оператор индексаind (N1N2) = ind N1 +ind N2.
(b) Сумма фредгольмого и компактного оператора есть фредгольмовый оператор того же индекса. В частности, если оператор N0 компактен в X, то оператор N= 1 + No фредгольмов и его индекс равен нулю.
(c) Оператор N : X ^ Y фредгольмов тогда и только тогда, когда существует такой фредгольмовый оператор М : Y ^ X, что MN= 1 + Ni, NM= 1 + N2, где операторы N1 и N2 компактны в, соответственно, X и Y.
(d) Сумма фредгольмого и ограниченного оператора достаточно малой нормы есть фредгольмовый оператор того же индекса.
(e) Пусть оператор N: X ^ Y фредгольмов и оператор N: X х Ст^ Y х Спдействует по формуле N(хД) = (у,у), где
У = Nx+ 22 а3ф, у = фх + 22,-=1С&,1- i-п,
с некоторыми dj Е Y и ограниченными линейными функционалами bi Е X*. Тогда оператор N фредгольмов и его индексind N =ind N+ т — п.
Исходя из I х I—матриц-функций а, Ъ Е СДГ), рассмотрим сингулярный оператор
2N = а(1 + S) + Ъ(1 — S)+ 2No, (0.8)
где а и Ъ понимаются как операторы умножения р ^ ар, оператор N0ком¬пактен в пространстве СМ(Г) и 1—единичный оператор. По определению N принадлежит к нормальному типу, если матрицы-функции а и Ъ обратимы, т.е. det a(t) = 0 для всех t Е Г и аналогичным свойством обладает Ъ.
Согласно [79] класс всех ограниченных операторов N: X ^ Yявляется векторным пространством, которое обозначим C(X,Y). При X = Yпишем кратно £(X). Следующая лемма имеет важное значение, так как используется при доказательстве основной теоремы магистерской диссертации.
Лемма 3.1. Пусть X = X1 х ... х Xnи оператор N Е £(X) представляется треугольной п х п—матрицей (Nij), Nij Е £(Xj,X), например Nij= 0 при i
Приведем результаты классической теории сингулярных уравнений [60].
Теорема 3.2. Пусть матрицы-функции a,b Е С1'(Г) и оператор N0 компактен в пространстве С^(Т). Тогда оператор (0.8) фредгольмов в пространстве СДГ) тогда и только тогда, когда матрицы a,b обратимы и его индекс дается формулой
_ det b
ln,
det г
где[ ]г означает приращение непрерывной ветви логарифма на контуре Г в соответствии с заданной его ориентацией.
Примером компактного оператора в См(Г) служит интегральный оператор вида
(Kp)(t0) = — k(to,tp(t)dt, t0Е Г,(0.9)%г J t -10
где функция k(t0,t) Е Сv(Г х Г) с некоторым и>у и обращается в нуль
при t = t0. Очевидно, ядро k(t0,t)(t — t0)-1этого оператора имеет слабую особенность и потому интеграл понимается в обычном смысле.
Следующая лемма дает критерий компактности оператора этого вида.
Лемма 3.2. Пусть функцияk(t0,t) Е С1'(Г х Г), 0 <у < и < 1, и выполнено условие
k(t, t) = 0, t Е Г.
Тогда оператор K ограничен С (Г) ^ Ср(Г) и, в частности, компактен в С ЦТ).
Если контур Г Е С1’^, то в соответствии с теоремой 2.2 сингулярный оператор Sjограничен в пространстве СМ(Г). Более того справедлива следующая лемма.
Лемма 3.3. Пусть Г Е С1’^, тогда оператор K= Sj — S удовлетворяет условиям леммы 3.2.
Далее в этом параграфе показана связь операторов (0.8) с комплексным сопряжением y(t) ^ y(t).
Для оператора К вида (0.9) оператор К имеет тот же вид с функцией
*Ы) = —.
(t70)е(7)
Аналогично для сингулярного оператора Коши Sоператор Sзаписывается в форме (0.9) с
, / ч (7 — to)e(t)
к^ = —t t , t •
Что касается оператора Sj, то, очевидно, он совпадает с —Sj и справедлив следующий результат.
Лемма 3.4. Пусть Г G С, тогда вместе с оператором К вида (0.9) условию леммы 3.2 удовлетворяет и оператор К. Кроме того, каждый из операторов S+ S и Sj+ Sj представим в виде (0.9) и удовлетворяет усло¬виям этой леммы.
Обозначим CR(Г) соответствующее пространство вещественных I— век- тор-функций. Если ограниченный в СМ(Г) оператор Nобладает свойством
N =N,
то он действует как R— линейный оператор NRв пространстве CR(Г) вещественных функций. В случае его фредгольмовости индекс этого оператора понимается, конечно, по отношению к размерностям над полем R.
Лемма 3.5. Операторы N иNRсвойством фредгольмовости обладают одновременно и их индексы совпадают.
Следующий результат, который дает теорема 3.2. совместно с леммой 3.5 завершает третий параграф второй главы.
Теорема 3.3. Пусть контур Г G С, матрица-функции G(t) Е Cv(Г) и оператор N0компактен в пространстве СМ(Г). Тогда оператор
Rp =Re[G(^ + Sp+ Nop)]
Фредгольмов в пространствеC-R(r) тогда и только тогда, когда матрица
G обратима, и его индекс дается формулой
ind R = ——[arg det G] г
л
где приращение [ ]гвдоль Г берется в направлении, оставляющем область D слева.
В заключительном четвертом параграфе рассматривается задача Римана-Гильберта для общей эллиптической системы (0.1) в конечной области D Е С, ограниченной гладким контуром Г Е С 1^, 0
/ С11 С12
С = ( I , где С., Е С*х‘>i,j= 1,2.
С21 С22
Предполагая, что матрица-функция С(t) принадлежит классу Сv(Г), задача ставится краевым условием (0.2).
Если матричные коэффициенты а,Ъ Е ^(D), р< V а правые части F Е ^(D), f Е СМ(Г), то задачу (0.1)-(0.2) естественно рассматривать в классе (0.3)
В параграфе доказано, что пространство Сд(D)банахово относительно нормы
Uс^ (D) = 1^ сДЛ) 'ВА Uфм(р).
Как обычно, задачу (0.1)-(0.2) будем называть фредгольмовой, если фредгольмов ее оператор, действующий С)(D) ^ O^(D') х СМ(Г).
Напомним, что согласно лемме 1.1 матрица В Е С1х1 имеет следующую блочную структуру
/ В11 В12 , ,
В =I _ I , В,, Е С1‘хЛ>,i,j= 1,2.
В21 В22
Рассмотрим I хZ—матрицу-функцию G(t) c блочными элементами вида
Gi1 = С,1В11 + С,2В21 Gi2 = С,1В12 + С,2В22 б =1,2
В заключении доказывается основная теорема магистерской диссертации о фредгольмовой разрешимости задачи Римана-Гильберта (0.1)-(0.2) в классе (0.3).
Теорема 4.1. Пусть область D конечна, ограничена гладким контуром Г Е С1’^ и матрица-функция С(t) Е Cv(Г). Пусть Iх I—матричные коэффициенты a(z), b(z) Е C^(D), а правые части системы (0.1) и краевого условия (0.2) принадлежат соответственно F(z) Е C^(D), f (t) Е См(Г). Тогда условие обратимости
det G(t)= 0, t Е Г необходимо и достаточно для фредгольмовости задачи (0.1)-(0.2) в классе (0.3) и ее индекс дается формулой
ю = ——[arg det G]r + I, л
где приращение [ ]г берется в направлении, оставляющем область D слева.