Список обозначений 3
2 Предметный указатель 4
3 Введение 6
4 Векторная решеточная модель 10
5 Задача об определении основного состояния 17
6 Дискретное преобразование Фурье 20
7 Описание классов B и BNдля к* = 0 23
8 Описание классов B и BNдля пар к* = 0 30
9 Близость Гамильтонианов с s(Pyy)и s(y) при L ! 1 32
10 Заключение 39
11 Литература
При теоретическом исследовании твердотельных структур статистическими методами, вероятностные модели, основанные на распределениях Гиббса, которые порождаются гамильтонианами, заданными на фазовых пространствах, где на пространственные положения частиц системы не накладывается никаких ограничений, становятся, как правило, неадекватными. Это связано с тем, что реальные физические твердотельные состояния, создаваемые природными или технологическими процессами, являются, с теоретической точки зрения, с одной стороны, метастабильными, а, с другой стороны, их времена жизни настолько велики, что это положение создает условия для выработки специального подхода к их теоретическому изучению. А именно, в указанных условиях, при построении статистической механики для исследования таких метастабильных состояний, можно дополнительные вводить математические ограничения, которые модельным образом фиксируют ту долгоживущую твердотельную структуру, на фоне которой разворачиваются изучаемые физические процессы. В частности, допустимо предположить, что в области очень низких температур физически реализуются такие состояния, которые представляют собой монокристаллические образцы среды. Тогда фазовое пространство такой системы большого числа Nчастиц, которая моделирует монокристаллическую твердотельную структуру, должно строиться, исходя из фиксации их пространственно периодического расположения. На этом пути возникают решеточные модели статистической механики, которые являются самостоятельным объектом изучения статистической математической физики[1]. Такие решеточные модели, в свою очередь, подразделяются на классические и квантовые, в зависимости от того, для описания какой физической ситуации предназначаются. В обоих случаях, решеточные системы допускают очень простое, с математической точки зрения, изучение в области высоких температур на основе сходящихся высокотемпературных разложений. Однако, по самому своему смыслу, решеточные модели предназначены не для изучения поведения соответствующих им физических систем в области высоких температур, а, наоборот, подразумевается их использование для описания таких физических состояний, которые характеризуются, в общем случае, значениями соответствующих физических параметров, при которых высокотемпературные разложения расходятся. В частности, не поддается исследованию на основе таких разложений, едва ли не самая важная для систем многих частиц, задача об описании происходящих в них фазовых переходах, которые претерпевает каждая из систем в температурной области, промежуточной между низкими и высокими температурами. Как изучение фазовых переходов, так и изучение поведения систем многих частиц в собственно низкотемпературной области связано с информацией о том состоянии, которое, теоретически, должно реализоваться при нулевой температуре в изучаемой системе большого числа частиц, то есть о состоянии с наименьшей энергией. Поэтому задача описания класса основных состояний для каждой фиксированной решеточной модели является первоочередной. Вместе с тем, уже для самых простейших решеточных моделей задача описания класса основных состояний, как статистической математической физики, оказывается довольно нетривиальной. В настоящей работе мы исследуем класс основных состояний сферически симметричной векторной модели, которая относится к классу классических решеточных систем статистической механики. Она представляет собой предельный случай известной квантовой модели Гайзенберга [3] при специальном предельном переходе неограниченного возрастания значения спина частицы в каждом из узлов кристаллической решетки. Так как модель Гайзенберга, как считается в физике твердого тела, описывает обширные классы магнито-упорядоченных твердотельных сред, то векторная модель, соответственно, с физической точки зрения, должна приближенно описывать эти магнитоупорядоченные среды в том случае, когда частицы в узлах кристаллической решетки с собственным магнитным моментов обладают большим значением спина. В работе будет описан класс основных состояний для гамильтонианов, содержащих только парное взаимодействие магнитных моментов. Обменная амплитуда, описывающая обменное взаимодействие указанных магнитных моментов, предполагается суммируемой. При этом мы исследуем только основные состояния для того случая, когда фурье-образ обменной амплитуды может иметь абсолютный минимум только в одной паре векторов {k, -kgобратной решетки. Такое положение исключает наличие так называемых фрустраций у векторного поля, которое реализует минимум энергии. В построениях работы мы, в значительной степени, следуем терминологии монографии [1].
Далее мы рассмотрим случай, когда обменный интеграл, описывающий взаимодействие пар магнитных моментов в узлах решетки, обладает фурье-образом, минимум которого реализуется на таком множестве K пар, взаимно-противоположных по знаку волновых векторов, которое содержит более одной пары. При этом парный обменный интеграл предполагается суммируемым на решетке. Мы покажем, что класс распределений векторных полей на решетке, минимизирующих энергию, является, по сути, тем же самым, что и в случае, когда указанное множество состоит из одной пары, а именно эти векторные поля представляют спиралеобразные структуры.
В статистической механике решеточных систем часто применяется аппроксимация изучаемой системы, при которой ее гамильтониан H заменяется на гамильтониан H соответствующей ей системы с периодическими граничными условиями (см. [2]). Такая аппроксимация упрощает всевозможные конструкции в рамках статистической механики и доказательства утверждений о свойствах различных решеточных систем. Часто, она позволяет проводить вычисления некоторых характеристик до конечных аналитических формул в том случае, когда это вообще возможно. При этом существенно, что понятие аппроксимирующей системы с периодическими граничными условиями вводится в том случае, когда взаимодействие обладает конечным радиусом. Этого оказывается достаточно при вычислении статистических характеристик на основе соответствующего распределения Гиббса при конечных температурах, если гамильтониан системы принадлежит банахову пространству B суммируемых гамильтонианов [2]. Однако, в том случае, когда приходится давать оценки энергии конкретного состояния, в частности, в задаче о вычислении основного состояния конечной системы, совсем не очевидно, что аппроксимация исходного гамильтониана H 2 B системы, который физически не обладает конечным радиусом действия, некоторым гамильтонианом конечного радиуса действия, должна приводить к близости соответствующих состояний. В настоящем сообщении мы вводим понятие аппроксимирующей системы с периодическими граничными условиями в том случае, когда она не обладает конечным радиусом действия, и для этой системы даем оценку близости ее энергии к энергии аппроксимируемой системы в том же фазовом состоянии. Для простоты изложения мы ограничиваемся только классическими (не квантовыми) решеточными системами статистической механики и, более того, ограничиваемся только системами с парным взаимодействием, типичным представителем которых является так называемая векторная модель в физике магнетизма. Распространение предлагаемых в сообщении построений на самый широкий круг решеточных систем с гамильтонианами из B не представляет затруднений.
В работе проведено строгое математическое исследование задачи об описании класса всех состояний с минимальной энергией для сферически симметричного обменного взаимодействия в рамках векторной решеточной модели магнетика при отсутствии внешнего магнитного поля в том случае, когда кристаллическая решетка является несжимаемой и обладает простой элементарной кристаллической ячейкой. Эта задача, как было сказано во введении, имеет важное значение для последовательного построения статистической механики кристаллов, проявляющих магнитное упорядочение при низких температурах.
Изученная задача ранее интенсивно исследовалась в теоретических работах, связанных с физикой магнетизма, однако, типичным подходом, применяемым при ее решении являлось использование приближения сплошной среды, в рамках которого необходимо было выбирать среди всех стационарных решений соответствующего уравнения ферродинамики (уравнения Ландау-Лифшица) то из них, которое бы отвечало минимуму энергии. Такой подход был связан с тем, что он подход довольно прозрачен в идейном смысле и прост в математическом отношении, так как быстро приводил к конкретному результату, что очень важно с точки зрения приложений теории.
Исследование в диссертации выполнено в рамках сферически симметричной векторной классической (не квантовой) модели ферромагнетика, которая относится с точки зрения терминологии статистической математической физики к классическим решеточным моделям. Гамильтониан модели состоит только из бинарных взаимодействий элементарных магнитных моментов, сосредоточенных в узлах решетки и полностью характеризуется функцией I(х) - т.н. обменным интегралом между парой элементарных магнитных моментов, расположенных в двух узлах решетки с вектором х, описывающим их взаимное расположение.
В результате проведенного в диссертации исследования обнаружено, что очень важной, в математическом отношении, характеристикой модели является фурье-образа I(k)обменного интеграла I(x). В зависимости от свойств этой функций, качественная структура основного состояния может изменяться. В диссертации исследован случай, когда множество K векторов k, в которых реализуется ее абсолютный минимум конечно. Кроме того, считается, что множество состоит из векторов k, компоненты kjкоторых имеют вид kj = Mrpj=qj, pj =qj - рациональные числа, j = 1,2,3. Показано, что в этом случае все основные состояния, реализующие минимум гамильтониана модели, представляют собой спиральные структуры, у которых шаг спирали и направление ее ориентации определяется любым волновым вектором k* из [—л,л]^, d= 2,3, где d- пространственная размерность решетки, в котором достигается минимум функции II(k). При этом существенно, чтобы обменный интеграл должен представляться суммируемой на кристаллической решетке Zdфункцией.
Ввиду принятых в диссертации предположений относительно свойств обменного интеграла I(bfx),для дальнейшего развития того направления математической физики, которому посвящена работа, необходимо решить следующие задачи.
1. В рамках метода решения, предложенного в настоящей работе, нужно отказаться от ограничивающего условия отсутствия в парах fk*,— k*g, точек k*= 0 и k* = (л, л, л).
2. Более того, нужно отказаться при определении основных состояний от условия невырожденности обменного интеграла так, чтобы множество K пар, для точек из которых достигается минимум фурье-образа обменного интеграла, могло быть бесконечным.
3. Далее, нужно решить техническую задачу, хотя она, на первый взгляд, не должна представлять каких-либо трудностей. Эта задача состоит в том, чтобы отказаться условия попадания минимума фурье-образа обменного интеграла сразу в точку k*обратной решетки, которая соответствует конечному кристаллу, то есть таким образом, что термодинамический предельный переход не сказывается на положении этой точки.
4. Необходимо отказаться при определении состояний, минимизирующих энергии, от периодических граничных условий. Это очень важно в связи с тем, что малых изменения гамильтониана могут радикально изменять структуру основного состояния, что представляет собой т.н. фазовый переход в системе большого числа частиц.
5. Необходимо отказаться от сферической симметрии обменного интеграла, в частности, исследовать основные состояния при наличии одноосной анизотропии как типа «легкая ось», так и типа «легкая плоскость».
6. Необходимо установить основные состояния для парного обмена при наличии внешнего магнитного поля.
7. Нужно научиться оценивать влияние на структуру основного состояния наличия в гамильтониане обменных интегралов более высокого порядка.
8. Нужно научиться оценивать точность «приближения сплошной среды» при определении основных состояний по сравнению с точным решением задачи в рамках использования решеточных моделей.
9. Нужно научиться находить основное состояние гамильтониана в том случае, когда парный обменный интеграл не является суммируемым.
10. Нужно распространить результаты решения задач, представленных в предыдущих пунктах программы, на решеточные модели с непростыми элементарными кристаллическими ячейками.
Наконец, все результаты, полученные в рамках решеточных моделей для векторных полей, нужно распространить на соответствующие квантовые решеточные модели. Это может быть достигнуто посредством использования техники спиновых когерентных состояний.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
