Введение 3
2. Основные используемые понятия и теоремы 6
3. Матрица Ляпунова как решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода 10
4. Методы решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода . . 16
4.1. Метод последовательных приближений 16
4.2. Квадратурный метод 18
5. Практическая реализация 20
6. Заключение 23
7. Список литературы
Купить

Предметом данной работы является построение матрицы Ляпунова для систем дифференциально-разностных уравнений с запаздывающим аргументом. Подобные системы используются для описания многочисленных процессов, использующих передачу массы, энергии, информации и т. п. Существует множество факторов, таких как ограниченность скорости распространения взаимодействия, наличие инерционности отдельных элементов, ограниченность скорости протекания физических процессов, в связи с которыми появляется запаздывание в процессе. Иногда этим запаздыванием можно пренебречь и описать систему при помощи системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако неучитывание запаздывания зачастую может привести к результатам, несоответствующим реальности. Поэтому целесообразно использовать дифференциальные уравнения, в которых функция и ее производные входят при разных значениях аргумента.
Известно, что для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом при выполнении условия Ляпунова существует единственная матрица Ляпунова [1]. В последние 10 лет проводились исследования матрицы Ляпунова, было дано новое определение [1], [3], а также найден ряд ее применений, таких как исследование устойчивости [2], построение экспоненциальных оценок решений [1], исследование робастной устойчивости [3], вычисление значения функционала качества [1], вычисление H2[6] нормы и другие.
Однако до сих пор не был найден универсальный метод построения этой матрицы. Нахождение точного значения матрицы Ляпунова является непростой задачей, поэтому существуют различные методы вычисления матрицы, например, полуаналитический [1], полиномиальная аппроксимация [5], [6],
кусочно-линейная аппроксимация [1].
Полуаналитический метод применим только для систем с кратными запаздываниями вида
x(t) = ^X Ajx(t — kh) k 2 N.
j=0
Было показано, что вычисление матрицы Ляпунова может быть сведено к построению решения специальной краевой задачи для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений [1]. При выполнении условия Ляпунова такая задача имеет единственное решение [1]. Недостатком этого метода является отсутствие оценки погрешности вычислений, а также тот факт, что этот метод применим только для систем с кратными запаздываниями. Как правило, необходимо вводить дополнительные запаздывания с нулевыми матрицами, чтобы запаздывания в системе стали кратными, что в свою очередь влечет значительное увеличение времени работы метода, а также погрешности вычислений.
Полиномиальная аппроксимация матрицы Ляпунова осуществима также без оценки погрешности вычислений.
Численный метод построения кусочно-линейной аппроксимации матрицы Ляпунова состоит из двух этапов. На первом этапе вычисляется кусочно-линейная аппроксимация начальных условий для матрицы Ляпунова. Затем эти начальные условия используются при вычислении приближенного значения матрицы Ляпунова как решения уравнения
dU (г) Vх , .
= ^2 U(г - hj)Aj, г>0.
г
j=0
Целью данной работы является построение матрицы Ляпунова для систем с некратными запаздываниями, а также получение оценки погрешности, применимой на практике.
Один из методов решения поставленной задачи это сведение задачи к системе, решение которой будет удовлетворять динамическому свойству, свойству симметрии и алгебраическому свойству из определения матрицы Ляпунова. Полученное интегральное уравнение будем решать численно при помощи метода последовательных приближений и квадратурного метода, используя квадратурную формулу трапеций. Для метода последовательных приближений будет найдена оценка погрешности.
Купить