Введение 4
Глава 1. Основные определения и постановка задачи 7
2.1 Основные определения и теоремы 7
2.2 Постановка проблемы 11
Глава 2. Случай дискретного распределения интенсивностей Пуассоновского процесса 12
Глава 3. Случай непрерывного распределения интенсивностей Пуассоновского процесса 15
Глава 4. Некоторые частные случаи распределения интенсивностей
Пуассоновского процесса 19
Заключение 24
Список литературы 25
Приложения должны быть в работе, но в настоящий момент отсутствуют
Данная работа посвящена описанию основных свойств сумм независимых псевдо- пуассоновских процессов со случайной интенсивностью в случае, если интенсивность представляет собой непрерывно распределенную случайную величину. При этом ключевым понятием, необходимым для анализа, является процесс случайного индекса (ПСИ). При этом подчеркнем, что процессом случайного индекса мы называем псевдопуассоновский процесс, примененный к произвольной последовательности, а не только к марковской. Отметим также, что в данном разделе будут даны лишь краткие вводные понятия. Более строгие определения даны в Главе 1. Под процессом случайного индекса (субординатором) ^(t) = ^n(t) мы будем понимать случайную последовательность, составленную из последовательности случайных величин {£} = {£0, Ц, ...^,...} путем случайной замены времени, а именно, по определению:
^n(t)=
Здесь и далее Щ(/)— процесс Пуассона с постоянной вещественной интенсивностью Л > 0. Здесь и далее в качестве последовательности случайных величин {£} мы будем рассматривать последовательность центрированных и нормированных независимых одинаково распределенных случайных величин. Пуассоновские процессы, примененные к марковским последовательностям, называются псевдопуассоновскими процессами (Pseudo-Poisson proceses). Как процессы случайного индекса, так и псевдопуассоновские процессы в достаточной мере исследованы в литературе (см. напр. [1]). Однако, суммы таких процессов в указанных работах не рассматривались. Примечательным является тот факт, что сумма уже двух слагаемых вида (1) для (, состоящей из независимых случайных величин, уже не будет обладать свойством марковости.
В работах О.В.Русакова (см. напр. [2], [3]) были впервые введены в рассмотрение суммы независимых копий процессов вида (1), и доказана их сходимость в смысле сходимости конечномерных распределений к процессам типа Орнштейна-Уленбека, а также сходимость таким сумм в финкциональном пространстве Скорохода. Дальнейший анализ ПСИ проходил в более общих допущениях об интенсивности ведущего случайного процесса ПЛ(t) (см наир. [4]). Был рассмотрен случай, когда интенсивность пуассоновского процесса, Л, представляет собой дискретную случайную величину, определенную следующим образом: пусть Л имеет распределение Гд. Положим, что Л принимает значения Л1< Л2< ... -Л/ <...Лп с вероятностями p1,p2, ...,Pi, .. .,pn,где ffpi= 1. Были исследованы свойства сумм вида (2) в данном случае стохастической i=1 интенсивности с дискретным распределением, а также доказан ряд предельных свойств для таких сумм.
Основной целью данной работы является исследовать асимптотические свойства и описать ковариационные свойства предельного процесса для сумм вида (2), когда в качестве интенсивности ведущего пуассоновского процесса выступает случайная величина Л(ш), обладающая естественными стохастическими свойства (например, безграничной делимостью распределения), а также:
1. Ли ПЩ) независимы, где П1 (t) - процесс Пуассона с интенсивностью 1;
2. Л и £ независимы.
Кроме того, в работе будет рассмотрен частный случай сумм вида (2) при следующих допущениях, соответствующих схеме серий:
1. Пусть существует последовательность дискретных случайных величин Aj ,j= 0 .. n
следующим образом: Aj принимает положительные значения Aj,i
Xj;i< ...1 с вероятностями pj,1,pj,2, ...,pj;i,..., где pj;i= 1 и Pj,i~рациональные
i=1
числа вида Oji/N-,
2. Распределение (Aj,pj), зависящее от N, годится при N ! 1 к некоторому
распределению vс преобразованием Лапласа Lv.
В таком случае рассмотрим суммы вида:
*«<*):= pN X X**®’f* ° (4)
VN i=1 j = 1
и поставим целью исследование предельных свойств сумм вида (4) при N стремящимся к бесконечности. Помимо озвученных целей, в рамках дипломной работы планируется рассмотреть ряд свойств сумм процессов случайного индекса при некоторых конкретных видах распределений интенсивностей, а также расширить таблицу интегральных преобразований Лапласа.
В Главе 1 планируется дать основные понятия и определения, необходимые для дальнейшего анализа, а также сформулировать проблему. В Главе 2 планируется описать основные предварительные результаты, имеющиеся в литературе, для случаев дискретно распределенных интенсивностей. В Главе 3 планируется описать основные предварительные результаты, имеющиеся в литературе, для случаев непрерывно распределенных интенсивностей. В Главе 4 планируется проиллюстрировать и вывести ряд свойств рассматриваемых процессов при некоторых конкретных видах распределений интенсивностей.
В рамках представленной работы были рассмотрены основные результаты относительно вопросов свойств псевдопуассоновских процессов и сумм псевдопуассоновских процессов. Были изложены важные ассимптотические свойства сумм процессов случайного индекса, а также исследован ряд практических примеров в разрезе различных допущений относительно природы интенсивности Пуассоновского процесса, управляющего заменой времени в процессах случайного индекса. В рамках возможных направлений дальнейших исследований кажется уместным рассмотреть вопрос дальнейшего расширения таблиц интегральных преобразований Лапласа по причинам, озвученным в предыдущей Главе, а также рассмотреть ассимптотическое поведение сумм вида
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
