Решение прикладных задач с использованием производных и дифференциалов функций многих переменных (Математический анализ, Омский Государственный Педагогический Университет)
Введение 3
Глава 1 Дифференциальное исчисление функций многих переменных 5
1.1 Понятие действительной функции нескольких переменных 5
1.2 Частные производные. Дифференцируемость. Дифференциал 10
1.3 Дифференцируемость сложной функции 14
1.4 Производные высших порядков 17
Глава 2 Приложения производной и дифференциала функции нескольких переменных 20
2.1 Касательная плоскость и нормаль к поверхности 20
2.2 Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала 21
2.3 Экстремум функции нескольких переменных 22
2.4 Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных 24
2.5 Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент 26
2.6 Применение в экономике 28
Заключение 31
Список используемой литературы 32
Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Основным понятием дифференциального исчисления является понятие производной, которое определяет скорость изменения неравномерно меняющихся величин.
Основной задачей теории функций нескольких переменных является описание различных процессов в природе и производстве, когда изменение одной переменной зависит от изменения нескольких переменных.
Из всего вышесказанного вытекает актуальность темы курсовой работы «Решение прикладных задач с использованием производных и дифференциалов функций многих переменных».
Цель исследования – изучение приложений производной и дифференциала функции нескольких переменных.
Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд задач:
изучить понятия «функции нескольких переменных», «непрерывности функции нескольких переменных», «дифференцируемости функции нескольких переменных», «частных производных», «дифференциала функции нескольких переменных»;
сформулировать и доказать основные свойства непрерывных функций в Rn, достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных, непрерывность и дифференцируемость сложной функции, достаточное условие независимости смешанных производных;
изучить приложения производной и дифференциала функции нескольких переменных.
Объект исследования – дифференциальное исчисление функции многих переменных.
Предмет исследования – приложения производной и дифференциала функции многих переменных.
Методы исследования: изучение и анализ научной математической литературы по теме исследования, доказательство теорем, решение задач.
Теоретическую базу исследования составили фундаментальные труды по математическому анализу Н.М Фихтегольц, В.А. Ильин; по высшей математике: Н.Я. Кремер, В.С Шипачев и др.
Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы.
Пусть каждому элементу , которые в совокупности образуют , поставлено в соответствие некоторое единственное , то такое соответствие обозначается или и называется действительной функцией n действительных переменных/
Пусть задана функция на некотором подмножестве . Частным приращением данной функции в точке по переменной называется величина . Соответственно частной производной данной функции по переменной называется /
Если функция f имеет все частные производные в точке и в некоторой , все эти частные производные непрерывны в точке , то f дифференцируема в этой точке.
Дифференциалом функции n переменных в точке называется выражение, которое обозначается du(M) и представляет собой линейную относительно приращений аргументов главную часть приращения этой функции в точке М: , где коэффициенты не зависят от приращений аргументов.
Производная и дифференциал функции многих переменных имеет широкое применение на практике: для нахождения уравнения касательной плоскости и нормали, для приближенных вычислений, для нахождения экстремума функции, наибольшего и наименьшего значений функции, для вычисления производной функции по направлению и вычисления градиента, для решения экономических задач на определение прибыли от производства разных видов продукции.
