ВВЕДЕНИЕ 3
1 Прямое преобразование Радона 5
2 Обратное преобразование Радона 9
2.1 Алгебраические методы реконструкции 9
2.2 Способы реконструкции с использованием методов Фурье-синтеза 10
2.2.1 Теорема о центральном сечении 11
2.2.2 Метод Фурье-синтеза 12
2.3 Методы реконструкции с использованием интеграла свертки 14
2.3.1 Алгоритм обратного проецирования 14
2.3.2 Метод отфильтрованной обратной проекции 16
2.3.3 Фильтрация проекций 16
3 Дискретизация алгоритмов преобразования Радона 18
4 Практическая реализация 19
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 28
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 29
ПРИЛОЖЕНИЕ А Код программы реализации прямого преобразования Радона 30
ПРИЛОЖЕНИЕ Б Код программы реализации обратного преобразования Радона 37
ПРИЛОЖЕНИЕ В Оттиск статьи в международном научном журнале «Наука и мир» 47
ПРИЛОЖЕНИЕ Г Оттиск статьи в международном научном журнале
«Академическая наука - проблемы и достижения»
Во многих областях науки и техники часто возникает необходимость исследования внутренней структуры непрозрачного объекта.
Для решения этой задачи К. Рентгеном был предложен метод диагностики, основанный на зондировании объекта рентгеновскими лучами и регистрации этого излучения. В основе формирования рентгеновского изображения лежит использование неодинаковой пропускающей способности веществ разной плотности. Пройдя через объект и попав на чувствительную пленку, рентгеновские лучи засвечивают ее сильнее, если плотность вещества меньше. Недостатком этого метода является искаженное отображение внутренней структуры объектов, при котором различные слои объекта наслаиваются друг на друга.
Для решения этой проблемы была поставлена задача построения изображения каждого отдельного слоя объекта - томограммы (от греч. tomos - слой). Получение неискаженного изображения поперечного сечения объекта оказалось возможным с появлением вычислительной томографии, которая основана на интегральной геометрии Радона.
Задача восстановления изображения по проекциям имеет большое практическое значение. Это и диагностика заболеваний, и контроль качества композиционных материалов, и разведка месторождений полезных ископаемых, и многое другое.
Для решения данной задачи используются алгоритмы прямого и обратного преобразования Радона, в которых неизвестной функции, подлежащей определению, ставится в соответствие другая функция, представляющая собой интегральную сумму искомой функции вдоль всех возможных прямых, получающихся при повороте осей координат на множество углов от 0 до 2п, или, другими словами, радоновский образ функции. Алгоритмы обратного преобразования Радона очень разнообразны, и каждый из них успешно применяется в различных направлениях.
Существующие на сегодняшний день программные продукты, поставляемые в комплекте с аппаратурой, например, медицинскими томографами, зачастую недоступны для широкого использования вследствие дороговизны, а также сложности их адаптации к конкретным целям исследования. Поэтому разработка алгоритмов реконструкции изображения по его проекциям является весьма актуальной задачей.
Целью настоящей работы является:
- изучение алгоритмов прямого и обратного преобразования Радона;
- анализ различных методов реконструкции изображения;
- изучение способов фильтрации полученного изображения;
- разработка комплекса программ, реализующего построение радоновского образа и восстановление исходного изображения внутренней структуры объекта по его проекциям, фильтрацию полученного изображения для улучшения его качества
Задача восстановления изображения по проекциям имеет большое значение для различных отраслей человеческой жизни. Рассмотренные методы реконструкции, основанные на алгоритмах преобразования Радона, являются наиболее распространенными при разработке математического обеспечения в томографических системах. Данные методы в настоящее время является самыми совершенными с точки зрения качества и количества получаемой информации об исследуемых физических объектах.
В ходе выполнения данной работы были выполнены следующие задачи:
1) Изучены алгоритмы прямого и обратного преобразования Радона.
2) Рассмотрены различные методы реконструкции и способы фильтрации изображения для получения более качественного результата.
3) Разработан комплекс программ, реализующий построение радоновского образа и восстановление исходного изображения по его проекциям, включая возможность выбора необходимого количества проекций и фильтрующей функции.
На основе полученных результатов сделаны выводы о зависимости качества реконструируемого изображения от количества проекций и проецирующих лучей, от выбора фильтра.
Результаты магистерской диссертации были доложены на итоговой научно-образовательной студенческой конференции КФУ и опубликованы в трех научных статьях [8] - [10].
Разработанный программный комплекс может быть использован в медицине для диагностики заболеваний, в авиационной и машинной промышленности для контроля качества композиционных конструкций, в электронной и рентгеновской микроскопии, геофизике, астрофизике.
Полученные результаты могут быть также использованы при изучении курсов «Компьютерная графика», «Биомедицинская инженерия» и других.
