Заказать работу


Тип работы:
Предмет:
Язык работы:


ВЗАИМОСВЯЗИ МЕЖДУ МЕТРИЧЕСКИМИ СООТНОШЕНИЯМИ В ДВУМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ

Работа №53627
Тип работыДипломные работы, ВКР
Предметматематика
Объем работы41
Год сдачи2016
Стоимость4235 руб.
ПУБЛИКУЕТСЯ ВПЕРВЫЕ
Просмотрено 46
Не подходит работа?

Узнай цену на написание

Введение 3
Глава 1. Неевклидовая геометрия 5
1.1 История открытия неевклидовой геометрии 5
1.2 Некоторые факты геометрии Лобачевского 7
1.3 Модели геометрии Лобачевского 7
1.4 Основные теоремы тригонометрии евклидовой плоскости 9
1.5 Метрические соотношения в геометрии Лобачевского 10
1.6 Формулы прямоугольного треугольника 17
1.7 Формула Лобачевского 18
1.8 О геометрии Лобачевского в малом 20
1.9 Задачи неевклидовой геометрии 21
Глава 2. Теорема Кези 24
2.1 Теорема Кези. Доказательство теоремы 24
2.2 Теорема Кези в гиперболической геометрии 26
2.3 Теорема Кези в сферической геометрии 30
Глава 3. Взаимосвязи между полиномиальными соотношениями в циклических многоугольниках трёх классических геометрий 31
Заключение 38
Библиографический список

Теория геометрии Лобачевского помогает взглянуть по-другому на окружающий нас мир, это интересный, необычный и прогрессивный раздел современной геометрии, она дает материал для размышлений - в ней не все просто, не все ясно с первого взгляда, чтобы ее понять, нужно обладать фантазией и пространственным воображением.
Начиная с конца прошлого века неевклидова геометрия, наряду с евклидовой, является одним из рабочих инструментов математики, несмотря на то что "пространство, в котором мы живем", в доступных нашему пониманию пределах является скорее евклидовым, чем неевклидовым.
Если под неевклидовой геометрией понимать любую геометрию, отличную от евклидовой, то имеется необозримое множество таких геометрий. Было бы трудно сказать что-либо обо всех них сразу. В настоящей работе под термином «неевклидова геометрия» подразумевается геометрия Лобачевского или двойственная ей сферическая геометрия. Среди геометрий, в которых имеется понятие расстояния между точками, эти две геометрии вместе с евклидовой геометрией занимают особое положение. Их можно охарактеризовать как геометрии максимальной подвижности или геометрии постоянной кривизны, они являются в известном смысле наиболее совершенными.
В работе рассматриваются основные понятия геометрии Лобачевского, приводятся некоторые примеры теорем неевклидовой геометрии, описываются модели (интерпретации) данной геометрии, а также в работе строится отображение, устанавливающее взаимосвязи между циклическими много-угольниками в сферической, гиперболической и евклидовой геометриях.
Циклическим называют многоугольник, вписанный в окружность. Между теоремами, связывающими длины сторон и диагоналей таких много-угольников, а также диаметры описанных окружностей в трёх классических геометриях имеются естественные взаимосвязи. Изоморфизм между соотношениями в различных двумерных пространствах постоянной кривизны описывается подстановками, приведёнными в последней части работы.
Актуальность данной работы объясняется тем, что к этой тематике в последние годы обращаются различные учёные и в нашей стране, и за рубежом.
Объектом исследования являются двумерные пространства постоянной кривизны.
Предметом исследования является нахождение метрических взаимосвязей между соотношениями, связывающими длины сторон, диагоналей, диаметры описанных окружностей циклических многоугольников в двумерных пространствах постоянной кривизны, а именно, в евклидовой плоскости, плоскости Лобачевского и на сфере.
Основная цель данной работы - это изучить зависимости между метрическими характеристиками циклических многоугольников.
Задачи:
- обосновать способ получения теорем о циклических многоугольниках в сферической и гиперболической геометриях из соответствующих теорем евклидовой геометрии;
- охарактеризовать соотношение, связывающее стороны вписанного треугольника, одна из сторон которого является диаметром описанной окружности в трёх геометриях;
- описать аналоги теоремы Птолемея.

Возникли сложности?

Нужна помощь преподавателя?

Помощь в написании студенческих
и аспирантских работ!


Открытие неевклидовой геометрии, начало которому положил Лобачевский, не только сыграло огромную роль в развитии новых идей и методов в математике естествознании, но имеет и философское значение.
Господствовавшее до Лобачевского мнение о незыблемости геометрии Евклида в значительной мере основывалось на учении известного немецкого философа И. Канта, родоначальника немецкого классического идеализма. Кант утверждал, что человек упорядочивает явления реального мира согласно априорным представлениям, а геометрические представления и идеи якобы априорны, то есть, не отражают явлений действительного мира, не зависят от практики, от опыта, а являются врожденными человеческому миру, раз и навсегда зафиксированными, свойственными человеческому разуму, его духу. Поэтому, Кант считал, что Евклидова геометрия непоколебима, неизменна, и является вечной истиной. Еще до Канта геометрия Евклида считалась незыблемой, как единственно возможное учение о реальном пространстве.
Открытие неевклидовой геометрии доказало, что нельзя абсолютировать представления о пространстве, что «употребительная» (как назвал Лобачевский геометрию Евклида) геометрия не является единственно возможной, однако это не подорвало незыблемость геометрии Евклида. Итак, в основе геометрии Евклида лежат не априорные, врожденные уму понятия и аксиомы, а такие понятия, которые связаны с деятельностью человека, с человеческой практикой. Только практика может решить вопрос о том, какая геометрия вернее излагает свойства физического пространства. Открытие неевклидовой геометрии дало решающий толчок грандиозному развитию науки, способствовало и поныне способствует более глубокому пониманию окружающего нас материального мира.



1. Егоров И.П. Основания геометрии / И.П.Егоров - М.: Просвещение, 1884.-144 с.
2. Александров П.С. Энциклопедия элементарной математики / П.С. Александров, А.И. Маркушевич, А.Я.Хинчин - М.: Физматгис, 1963.- 568 с.
3. Каган В.Ф. Лобачевский и его геометрия / В.Ф. Каган - М.: Гостех издат, 1955.- 452 с.
4. Клейн Ф. Неевклидова геометрия / Ф. Клейн - М.-Л.: ОНТИ, 1936. - 356 с.
5. Иовлев Н. Н. Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского / Н.Н. Иовлев - М.-Л.: Гиз., 1930. - 67 с.
6. Connelly R. Comments on generalized Heron polynomials and Rob¬bins’ conjectures // Preprint, Cornell University, 2004.
7. Fedorchuk M., Pak I. Rigidity and polynomial invariants of convex polytopes// Duke Math. J. V. 129, 2005. P. 371-404.
8. Landers P. Dying Mathematician Spends Last Days on Area of Poly¬gon // WSJ. July 29, 2003. P. 1.
9. Maley M.F., Robbins D.P., Roskies J. On the area of cyclic and semi- cyclic polygons. arXiv:math.MG/040/300v1 16Jul2004.
10. Pak I. Lectures on Discrete and Polyhedral Geometry. Cambridge University Press, 2009.
11. Pak I. The area of cyclic polygons: recent progress on Robbins’ Con-jecture // Adv. Applied Math. V. 34, 2005. P 690-696. Эл. версия
arXiv:math.MG/0408104.
12. Robbins D. Areas of polygons inscribed in a circle // Amer. Math. Monthly. V. 102, №6, 1995. P. 523-530.
13. Robbins D. Areas of polygons inscribed in a circle // Discrete and Comput. Geometry. V. 12, №2, 1004. P. 223-236.
14. Stothers W. Fuhrmann's theorem.
http: //www.maths .gla.ac. ukZ~wwsZcabripagesZhyperbolicZfuhrmann.html
15. Варфоломеев В.В. Вписанные многоугольники и полиномы Герона // Матем. Сборник. Т. 194, №3, 2003. С. 3-24.
16. Иовлев Н.Н., Введение в элементарную геометрию и
тригонометрию Лобачевского, Москва, 1930;
17. Каган В. Ф., Лобачевский и его геометрия. Общедоступные
очерки, М., 1955;
18. Медных А.Д., О формуле Брахмагупты в геометрии Лобачевского Матем. просв., сер. 3, 16 (2012), 172-180
19. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии: Учебное пособие.—5-е изд., испр.и доп.—М.: МЦНМО: ОАО .Московские учебники., 2006.—640 с.: ил.
20. Прасолов В.В., Геометрия Лобачевского, Издание третье исправленное и дополненное, МЦНМО, 2004;
21. И.Х.Сабитов. Решение циклических многоугольников. Математическое просвещение. Третья серия. Вып. 14. - М.: МЦНМО, 2010. - 288 с.
22. Смогоржевский А.С., О геометрии Лобачевского,
Государственное издательство технико - теоретической литературы,
выпуск 23, Москва, 1957;
23. Широков П. А., Краткий очерк основ геометрии Лобачевского, М., 1955;
24. Ren Guo, Nilgun Sonmez. Cyclic polygons in classical geometry ZZ Comptes rendus de 1’Academie bulgare des Sciences. Vol. 64, no. 2. 2011. P. 185-194. arXiv:1009.2970v1 [math.MG].
25. Абросимов Н.В., Микайылова Л.А. Сasey’s theorem in hyperbolic
geometry. Сибирские электронные математические
известия, 12 (2015), 354-360


Работу высылаем на протяжении 30 минут после оплаты.

Пожалуйста, укажите откуда вы узнали о сайте!



© 2008-2021 Cервис помощи студентам в выполнении работ
.