Теория геометрии Лобачевского помогает взглянуть по-другому на окружающий нас мир, это интересный, необычный и прогрессивный раздел современной геометрии, она дает материал для размышлений - в ней не все просто, не все ясно с первого взгляда, чтобы ее понять, нужно обладать фантазией и пространственным воображением.
Начиная с конца прошлого века неевклидова геометрия, наряду с евклидовой, является одним из рабочих инструментов математики, несмотря на то что "пространство, в котором мы живем", в доступных нашему пониманию пределах является скорее евклидовым, чем неевклидовым.
Если под неевклидовой геометрией понимать любую геометрию, отличную от евклидовой, то имеется необозримое множество таких геометрий. Было бы трудно сказать что-либо обо всех них сразу. В настоящей работе под термином «неевклидова геометрия» подразумевается геометрия Лобачевского или двойственная ей сферическая геометрия. Среди геометрий, в которых имеется понятие расстояния между точками, эти две геометрии вместе с евклидовой геометрией занимают особое положение. Их можно охарактеризовать как геометрии максимальной подвижности или геометрии постоянной кривизны, они являются в известном смысле наиболее совершенными.
В работе рассматриваются основные понятия геометрии Лобачевского, приводятся некоторые примеры теорем неевклидовой геометрии, описываются модели (интерпретации) данной геометрии, а также в работе строится отображение, устанавливающее взаимосвязи между циклическими много-угольниками в сферической, гиперболической и евклидовой геометриях.
Циклическим называют многоугольник, вписанный в окружность. Между теоремами, связывающими длины сторон и диагоналей таких много-угольников, а также диаметры описанных окружностей в трёх классических геометриях имеются естественные взаимосвязи. Изоморфизм между соотношениями в различных двумерных пространствах постоянной кривизны описывается подстановками, приведёнными в последней части работы.
Актуальность данной работы объясняется тем, что к этой тематике в последние годы обращаются различные учёные и в нашей стране, и за рубежом.
Объектом исследования являются двумерные пространства постоянной кривизны.
Предметом исследования является нахождение метрических взаимосвязей между соотношениями, связывающими длины сторон, диагоналей, диаметры описанных окружностей циклических многоугольников в двумерных пространствах постоянной кривизны, а именно, в евклидовой плоскости, плоскости Лобачевского и на сфере.
Основная цель данной работы - это изучить зависимости между метрическими характеристиками циклических многоугольников.
Задачи:
- обосновать способ получения теорем о циклических многоугольниках в сферической и гиперболической геометриях из соответствующих теорем евклидовой геометрии;
- охарактеризовать соотношение, связывающее стороны вписанного треугольника, одна из сторон которого является диаметром описанной окружности в трёх геометриях;
- описать аналоги теоремы Птолемея.
Открытие неевклидовой геометрии, начало которому положил Лобачевский, не только сыграло огромную роль в развитии новых идей и методов в математике естествознании, но имеет и философское значение.
Господствовавшее до Лобачевского мнение о незыблемости геометрии Евклида в значительной мере основывалось на учении известного немецкого философа И. Канта, родоначальника немецкого классического идеализма. Кант утверждал, что человек упорядочивает явления реального мира согласно априорным представлениям, а геометрические представления и идеи якобы априорны, то есть, не отражают явлений действительного мира, не зависят от практики, от опыта, а являются врожденными человеческому миру, раз и навсегда зафиксированными, свойственными человеческому разуму, его духу. Поэтому, Кант считал, что Евклидова геометрия непоколебима, неизменна, и является вечной истиной. Еще до Канта геометрия Евклида считалась незыблемой, как единственно возможное учение о реальном пространстве.
Открытие неевклидовой геометрии доказало, что нельзя абсолютировать представления о пространстве, что «употребительная» (как назвал Лобачевский геометрию Евклида) геометрия не является единственно возможной, однако это не подорвало незыблемость геометрии Евклида. Итак, в основе геометрии Евклида лежат не априорные, врожденные уму понятия и аксиомы, а такие понятия, которые связаны с деятельностью человека, с человеческой практикой. Только практика может решить вопрос о том, какая геометрия вернее излагает свойства физического пространства. Открытие неевклидовой геометрии дало решающий толчок грандиозному развитию науки, способствовало и поныне способствует более глубокому пониманию окружающего нас материального мира.
