ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1 ОПИСАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ 5
1.1 Исходная постановка задачи 5
1.2 Обнаружение неподвижных точек 9
1.3 Определение устойчивости неподвижных точек 11
1.4 Переход к проективным координатам 15
ГЛАВА 2 ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА 18
2.1 Анализ вычислений 18
2.1.1 Обработка результатов вычислений для заданных параметров
вектора коэффициентов 19
2.1.2 Обработка результатов численных экспериментов для изменяемых
значений вектора параметров 31
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 62
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 63
ПРИЛОЖЕНИЕ
ИСХОДНЫЙ КОД ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА

Купить

Во многих областях науки исследователи все чаще и чаще используют математические модели для предсказания поведения объектов исследований. Провести ряд экспериментов с моделью оказывается намного проще, дешевле. Полученные результаты таких исследований могут послужить для дальнейшего развития теории и, возможно, построения новых, более точных, моделей. Для создания математических моделей можно использовать различные подходы, такие как статистические модели, модели теории игр, дифференциальные уравнения, динамические системы. Модели многих реальных процессов могут быть представлены с помощью динамических систем. В таких моделях над точками фазового пространства — состояниями динамической системы — действует закон эволюции системы, при помощи которого по состоянию системы в некоторый момент времени можно определить состояние системы в следующий момент времени. Последовательность таких состояний образует траекторию динамической системы. Обычно состояния системы описываются набором вещественных чисел. Динамическая система может быть задана различными способами: дифференциальными уравнениями — в случае, если время в модели непрерывно, или разностными уравнениями, если время дискретно. В теории динамических систем в центре внимания стоит изучение асимптотического поведения, т.е. поведения системы при устремлении времени к бесконечности, особенно при наличии нетривиального возвращения. Ставится ряд вопросов об эволюции системы, например, может ли система прийти в одно из состояний, в которых она была раньше; насколько похожи процессы эволюции системы при близких начальных состояниях.
Широкое применение динамических систем как моделей реальных процессов в различных областях естествознания способствовало интенсивному развитию компьютерных методов их исследования. Методы численного анализа позволяют строить траектории на конечном интервале времени, при этом внимание уделяется точности построений. Практика показала, что для успешного изучения сложных динамических систем и их долгосрочного поведения необходимы новые компьютерно-ориентированные методы, которые позволяют определять асимптотику поведения траекторий. Разработка и реализация программного комплекса, который объединяет методы определения важных характеристик систем со сложным поведением траекторий, является актуальной задачей [1, 2 ,3].
Целью данной работы является изучение методов компьютерной геометрии в исследованиях динамических систем. В качестве примера была взята динамическая система, которая задается квадратичным отображением:
=Pi (х>У)
Х Ро(х>У)
= РЛх>У)
у ~ РО(Х>У)
где Ро (%,у) = а0+ сцх + а2у + Из%2+ а4у2 + а5ху
Р2 (Х>У) = ^i х2+^2У2
Pi (Х>У) = х2+у2
Исходя из цели, в рамках работы были поставлены следующие задачи:
1) Найти неподвижные точки квадратичного отображения
2) Разработать алгоритмов описания неподвижных точек двумерных динамических систем в проективной плоскости и анализа их устойчивости
3) Осуществить переход из евклидового пространства к проективным координатам
4) Разработать графических методов исследования двумерных динамических систем в проективной плоскости
5) Провести численные эксперименты для проверки корректности выявленных закономерностей.

Купить