Введение 3
Глава 1 Линии второго порядка на плоскости 5
1.1 Эллипс 5
1.2 Гипербола 10
1.3 Парабола 18
Глава 2 Практическое применение линий второго порядка 23
2.1 Директориальное свойство эллипса, гиперболы, параболы 23
2.2 Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду 25
Заключение 30
Список используемой литературы 33
Одним из центральных разделов курса геометрии является теория кривых второго порядка. Кривые второго порядка возникли как сечения конических поверхностей плоскостью и имеют большое значение в науке и технике. Одним из первых, кто начал изучать конические сечения был древнегреческий математик Менехм (IV и. до н.э.). Решая задачу об удвоении куба, Менехм задумался: «А что случится, если разрезать конус плоскостью, перпендикулярной его образующей?». Менехм получил три вида кривых: эллипс – если плоскость будет перпендикулярна к образующей конической поверхности; гиперболу – если плоскость будет параллельна оси конической поверхности; параболу – если плоскость будет параллельна образующей конической поверхности. Названия этих кривых предложил один из крупнейших геометров древности Аполлоний Пергский, посвятивший замечательным кривым трактат из восьми книг «Конические сечения». Аполлоний показал, что кривые можно получить, проводя различные сечения одной и той же конической поверхности. Однако, решение задач, связанных с кривыми второго порядка, иногда вызывают большие затруднения.
На основании всего вышесказанного можно заключить, что выбранная тема курсовой работы «Кривые второго порядка» является актуальной.
Цель исследования – изучить линии второго порядка на плоскости.
Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд задач:
изучить эллипс и его свойства;
изучить гиперболу и ее свойства;
изучить параболу и ее свойства;
привести общее уравнение кривой второго порядка к каноническому виду;
вывести уравнения директрис и радиусов для эллипса, гиперболы и параболы.
Объект исследования – аналитическая геометрия.
Предмет исследования – кривые второго порядка.
Методы исследования – анализ, обобщение, систематизация имеющегося материала, доказательство геометрических фактов.
Теоретическую базу исследования составили работы Л.В. Львовой, Л.С. Атанасян, В.Т. Базылева, А.С. Бортаковского, А.А. Ларина, Д.Т. Письменного и др.
Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованных источников.
К кривым второго порядка относятся эллипс, гипербола и парабола.
Эллипс – множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух точек, называемых фокусами, равна постоянному числу. Эллипс на плоскости задается следующим каноническим уравнением: . Эллипс имеет две оси симметрии – оси координат и центр симметрии – начало координат. Вершинами эллипса являются точки , . Отрезок А1А2 – большая ось, а отрезок В1В2 – малая ось, а – большая полуось, b – малая полуось. Все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми . Каждая прямая, проходящая через центр эллипса, пересекает эллипс в двух точках , симметричных относительно центра эллипса.
Гипербола – множество всех точек плоскости, для каждой из которых разность расстояний до двух точек, называемых фокусами, равна постоянному числу. Гипербола задается следующим каноническим уравнением: . Гипербола имеет две оси симметрии – оси координат и центр симметрии – начало координат. Отрезок А1А2 называют действительной осью, а отрезок В1В2, где точки В1 и В2 лежат на оси Оу и имеют координаты – мнимой осью. Соответственно, а – действительная полуось, b – мнимая полуось. Гипербола состоит из двух непересекающихся фигур, называемых правой и левой ветвями гиперболы. Асимптоты гиперболы задаются уравнениями .
Парабола – множество всех точек плоскости, для каждой из которых расстояние от данной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до данной прямой, называемой директрисой. Парабола задается следующим каноническим уравнением: . Парабола имеет ось симметрии – ось Ох. Вершина параболы расположена в начале координат О(0;0). Луч ОА называют осью параболы. Все точки параболы лежат в одной полуплоскости с границей Оу, которая содержит фокус F. Каждая прямая (исключая ось Оу), проходящая через центр параболы, пересекает параболу в двух точках: в начале координат О(0; 0) и в точке .
Фокальные радиусы эллипса задаются уравнениями . Фокальные радиусы гиперболы: задаются уравнениями 1) для левой ветви ; 2 для правой ветви . Фокальный радиус параболы задается уравнением . Директрисы эллипса и параболы задаются уравнениями . Директриса параболы задается уравнением .
В результате поворота системы координат на угол уравнение линии второго порядка имеет вид . Уравнение линии второго порядка при параллельном переносе начала координат будет иметь вид , если оба коэффициента и не равны нулю, а новое начало координат имеет координаты . Уравнение линии второго порядка при параллельном переносе начала координат будет иметь вид , если один из коэффициентов или равен нулю, , , а новое начало координат имеет координаты . Уравнение линии второго порядка при параллельном переносе начала координат будет иметь вид , если один из коэффициентов или равен нулю, , , а новое начало координат имеет координаты
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
