Изучение сферической геометрии и геометрии Лобачевского позволяет глубже понять происходящее с объектами. Например, понять связь правильных многогранников с разбиениями пространства Лобачевского.
Знания геометрии пространств постоянной кривизны помогает подниматься над трёхмерием. Вопросы нахождения многогранников, нахождения разбиений пространств постоянной кривизны и вывода формулы двугранного угла правильного многогранника в n-мерном пространстве тесно переплетены.
Пусть в центре внимания будут, всем понятные, правильные многогранники, хотя они не только результат всех выводов, но и, одновременно, инструмент для постижения пространств высших размерностей и равномерно искривлённых пространств.
В трёхмерном Евклидовом пространстве всего пять правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.
В трёхмерном пространстве правильным многогранником называется выпуклый многогранник, у которого все двугранные углы равны, все рёбра равны между собой, все грани равны между собой и грани являются правильными многоугольниками.
Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.
Вершины равноправны - означает, что количество рёбер и количество граней подходящих к каждой вершине одинаковое и подходят они под одинаковыми углами, в каждой вершине.
В данной работе рассматривают метрические соотношения в многогранниках в пространстве Лобачевского.
Объект исследования: трехмерное гиперболическое пространство.
Предмет исследования: метрические соотношения в многогранниках трехмерного гиперболического пространства.
Цель работы: нахождение метрических соотношений в некоторых правильных многогранниках трехмерного пространства Лобачевского.
Основные задачи:
1. Исследовать метрические соотношения в правильном гексаэдре;
2. Исследовать метрические соотношения в правильном тетраэдре.
Актуальность: исследование пространства Лобачевского актуально тем, что геометрия Лобачевского имеет применение и в самой математике и в приложениях к физике.
Апробация: результаты работы были представлены в статьях «Метрические характеристики многогранников в пространстве Лобачевского», «Метрические соотношения в простейших правильных многогранниках пространства Лобачевского», «Предельные радиусы вписанных сфер в пространстве Лобачевского». Опубликованы в материалах IV учебно-научной студенческой конференции, посвященной 225-летию Н. И. Лобачевского, II международной научно-практической конференции, конференции «Вызовы 21 века: прорывные компетенции современного профессионала».
Основной целью работы является исследование пространства Лобачевского, выведение метрических соотношений в многогранниках в гиперболическом пространстве. Для достижения цели был освоен теоретический материал по геометрии пространства Лобачевского, самостоятельно вычислены метрические соотношения многогранников в данном пространстве. Задачи такого типа можно рассматривать на пробных уроках будущих учителей математики. В работе обращено внимание на развивающуюся в настоящее время теорию замощения пространства Лобачевского многогранниками.
