ВВЕДЕНИЕ 3
1 Построение разностной схемы 5
1.1 Постановка задачи 5
1.2 Построение разностной схемы 8
1.3 Явный вид разностной схемы 12
2 Итерационный метод Гаусса-Зейделя 20
2.1 Построение метода 20
2.2 Модельная задача №1 24
2.3 Модельная задача №2 26
2.4 Модельная задача №3 28
3 Итерационный метод Якоби 31
3.1 Построение метода 31
3.2 Модельная задача №1 35
3.3 Модельная задача №2 37
3.4 Модельная задача №3 39
3.5 Сравнение методов Гаусса-Зейделя и Якоби 41
4 Решение системы Ламе с помощью PDE ToolBox 43
4.1 Модельная задача №4 43
4.2 Модельная задача №5 46
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 49
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 50
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Код программы
Задачи распространения упругих волн на градиентных изотропных и градиентных анизотропных слоях приводят к системе Ламе. В статье [1] исследована задача дифракции плоской упругой волны на градиентном слое и было показано, что она может быть сведена к системе Ламе. Также в этой статье была составлена разностная схема с погрешностью аппроксимации O(h) и приведен численный метод решения поставленной задачи. В статье [2] была изучена задача дифракции упругой волны на анизотропном слое, также было показано что задача сводится к системе дифференциальных уравнений второго порядка, составлена разностная схема с порядком аппроксимации O(h) и предложен численный алгоритм решения. В работах [3, 4] была составлена разностная схема для системы Ламе, описанной в [1], с погрешностью аппроксимации O(h2) и полученная система решалась методом матричной прогонки.
Цель выпускной работы - составить разностную схему для задачи дифракции плоской упругой волны на градиентном анизотропном слое с погрешностью аппроксимации O(h2) и предложить итерационные методы решения полученной системы линейных уравнений.
Для аппроксимации системы Ламе был выбран разностный метод. Теории разностных схем посвящены многие исследования, например, монографии [5, 6]. Разностная схема была составлена методом сумматорных тождеств, который изложен в книге [7]. В этой работе показано, что составленная разностная схема будет иметь второй порядок аппроксимации. Сама разностная схема представляет собой систему линейных уравнений с квадратной матрицей. Одним из способов решения таких систем является итерационные методы решения. Итерационные методы дают возможность найти решение системы, как предел бесконечного вычислительного процесса, позволяющего по уже найденным приближениям к решению построить следующее, более точное приближение. Классическая теория итерационных методов описывается, например, в книгах [8, 9, 10]. Для разностной схемы, которая аппроксимирует систему Ламе, были применены блочные варианты итерационных методов Гаусса-Зейделя и Якоби, которые изложены, например, в монографии [11].
Выпускная работа состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка использованных источников и одного приложения, в котором приведен код программы. В первом разделе, состоящим из трех подразделов, строится разностная схема с погрешностью аппроксимации O(h2), то есть производятся все необходимые вычисления, которые приводят систему Ламе к конечной системе алгебраических уравнений. В первом подразделе приведена постановка задачи, во втором подразделе, методом сумматорных тождеств построена разностная схема, а в третьем подразделе выписан явный вид разностной схемы, необходимый для дальнейших вычислений. Во втором разделе, содержащим четыре подраздела, строится итерационный метод Гаусса-Зейделя, а также проводится серия численных экспериментов, подтверждающих правильность работы программы. Третий раздел также состоящий из четырех подразделов, посвящен описанию итерационного метода Якоби, примененного к системе Ламе. Данный раздел содержит явные расчетные формулы для итерационного метода Якоби и серию численных экспериментов, устанавливающих правильность работы программы. В этом же разделе приведены таблицы, в которых показаны результаты численных экспериментов по сравнению работы двух рассмотренных итерационных методов. В четвертом разделе приведены результаты численных экспериментов для решения си-стемы Ламе при помощи пакета PDETool.
В выпускной работе были получены следующие результаты:
1) Получено интегральное тождество для системы Ламе;
2) Построена разностная схема с погрешностью O(h2);
3) Выведен явный вид расчетных формул для итерационного метода Гаусса- Зейделя для решения разностной схемы;
4) Выведены расчетные формулы для итерационного метода Якоби для решения разностной схемы;
5) Написана программа, реализующая итерационные методы Гаусса-Зейделя и Якоби;
6) Проведена серия численных экспериментов, подтверждающих правильность работы программ;
7) Исследованы результаты работы солверов в MatLab, которые предназначены для решения систем линейных эллиптических уравнений.
