ЗАМОЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ МНОГОУГОЛЬНИКАМИ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДОВ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Введение 3
1 Теоретические основы геометрических паркетов 6
1.1 Многоугольник и задача о замощении 6
1.2 История замощений и паркеты 7
1.3 К урокам геометрии в 9 классе по теме движения 10
1.4 Способы движений в замощениях Маурица Эшера 14
2 Способы замощений в СКМ Maple и Geogebra 17
2.1 Возможности системы компьютерной математики Maple и Geogebra ... 17
2.2 Динамическая модель замощений правильными многоугольниками ... 19
2.3 Алгоритм замощения плоскости неправильными пятиугольниками .... 22
2.4 Визуализация замощений пятиугольниками в СКМ Maple 29
3 Применение паркетов в школьном курсе математики. 37
3.1 Использование паркетов при обучении математике в 5-9 классах 37
3.2 Задачи от М. Эшера 42
Заключение 51
Литература 52

Купить

Геометрия - это не только школа логического мышления, это еще и источник образов. В чем тайна многих великих художников, скульпторов, архитекторов. Почему одни произведения искусства притягивают человека своей гармонией, а другие отталкивают? Есть ли точки соприкосновения у геометрии и искусства? Люди каких профессий (из мира искусства) используют законы геометрии при создании своих произведений?
В настоящее время большое внимание уделяется дизайну жилых помещений. Особенно оформлению и качеству напольных покрытий. Одним из востребованных и дорогостоящих напольных покрытий является паркет . Еще древние художники создавали удивительные геометрические орнаменты. Для создания своих узоров они применяли не простые, случайно придуманные контуры, а фигуры, которые были расположены в определённом порядке. А самое удивительное, что люди снова встретились с ними позже. Древние узоры - не что иное, как то, что спустя столетия назовут решётками Пенроуза и найдут в структуре квазикристаллов! А знаменитый голландский художник Морис Эшер (1898-1972), создавший знаменитые гравюры и мозаики, и никогда не понимавший математику, утверждал: «Все мои произведения — это игры. Серьезные игры». Однако в этих играх математики всего мира вот уже несколько десятилетий рассматривают абсолютно серьёзные, материальные доказательства идей, созданных с помощью исключительно математического аппарата.
Замощением плоскости, называется покрытие плоскости без пропусков и без перекрытий заданными фигурами. Один из наиболее важных вопросов теории разбиения плоскости можно сформулировать так: "Какой формы должна быть плитка, чтобы ее копиями можно было заполнить плоскость сплошь без пробелов и двойных покрытий"? Наиболее общий ответ на данный вопрос неизвестен. Частные ответы зависят от условий, налагаемых на форму плиток. Можно вымостить плоскость любым треугольником или любым четырехугольником [4], в то время как выпуклый многоугольник с пятью или большим числом сторон не всегда позволяет выложить плоскость без пробелов и наложений. Например, невозможно выложить плоскость правильными пятиугольниками, хотя некоторыми пятиугольниками с двумя параллельными сторонами, пятиугольниками с равными сторонами [3] можно вымостить плоскость. В книге «Математический цветник» [2] рассмотрены различные типы пятиугольников, которыми можно замостить плоскость, но, к сожалению, в ней нет математической теории для моделирования этих пятиугольников. Таким образом, актуальной задачей является формализация задачи, построение модели и разработка программы для построения паркетов из данных многоугольников.
Объект исследования: геометрический паркет в СКМ Maple и Geogebra. Предмет исследования: плоские геометрические фигуры замощаю- щие плоскость.
Цель работы - Визуализировать замощения в компьютерной среде. Реализация поставленной цели потребовала решения ряда конкретных задач, а именно:
• Ознакомиться с научной литературой.
• Определить набор фигур для оформления паркетов.
• изучить принципы построения паркетов;
• составить алгоритм построения замощений из неправильных пятиугольников 2 типа;
• разработать программу для построения замощений из неправильных пятиугольников 2 типа;
• рассмотреть область применения геометрических паркетов на уроках геометрии;
• познакомиться с искусством Мориса Эшера;
• смоделировать замощения Мориса Эшера в программе Maple и Geogebra.
Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов исследования:
1. Анализ научной литературы по задаче исследования.
2. Изучение специальных компьютерных программ.
3. Анализ возможностей современных информационных технологий.
Новизна и теоретическая значимость исследования заключаются в том, что в настоящей работе была выполнена формализация поставленной задачи, были построены модели, разработаны программы для построения паркетов из правильных многоугольников и неправильного пятиугольника предложенных в книге [2], а так же был проведен эксперимент по тестированию разработанных программ. Для математического моделирования применялся метод координат, матрицы преобразований и векторный метод. В работе были выведены условия выпуклости 2 типа пятиугольника. Программы разработаны в системе компьютерной математики - Maple, и в математической программе Geogebra позволяют наглядно моделировать различные паркеты. Выявлены образовательные возможности современных компьютерных технологий и наглядных пособий, которые могут быть использованы при проведении уроков по геометрии. На основе исследования компьютерной программы были разработаны серии контролирующих задач по геометрии.
Купить