Тема: ПОЛИНОМЫ БЕРНШТЕЙНА, ИХ ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ

В 1912 году Сергеем Натановичем Бернштейном были введены многочлены достаточно простой конструкции, в настоящее время носящие его имя. С помощью
этих полиномов и некоторых сведений из теории вероятностей Бернштейну удалось явно и кратко доказать знаменитую теорему Вейерштрасса о приближении
непрерывной функции, заданной на отрезке числовой прямой, алгебраическими
полиномами (по этому поводу см. в [3; 4; 6]).
В то же время эти полиномы не могут быть использованы, если приближаемая функция имеет хотя бы разрывы первого рода. Поэтому актуальной
является задача построения на базе полиномов Бернштейна других конструкций полиномов, которые аппроксимируют по норме некоторого пространства
разрывные функции. В настоящее время имеются работы, в которых построены такие конструкции полиномов (см., например, работу [8] и библиографию в
ней).
Целью работы является:
– систематическое изучение аппроксимативных свойств как классических полиномов Бернштейна, так и их обобщений;
– на их основе построение новых вычислительных схем прямых методов решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода, позволяющих получить
полиномиальные приближения, сходящиеся к точному решению в равномерной
метрике и в среднем.
Работа состоит из введения, трёх разделов, заключения и списка литературы
из 8 наименований.
В первом разделе даётся определение классического полинома Бернштейна
и изучаются аппроксимативные свойства этого полинома.
Второй раздел посвящен изучению аппроксимативных свойств введённых
нами на основе классических полиномов обобщенных полиномов, которые могут
использоваться как для приближения непрерывных, так и квадратично суммируемых на конечном промежутке функций.
В третьем разделе рассматриваются приложения исследованных нами полиномов. Здесь строятся вычислительные схемы приближенных методов решения
интегральных уравнений Фредгольма второго рода и изучаются вопросы сходимости этих методов. А именно, проводятся исследования полиномиального
3метода коллокации в случае непрерывных исходных данных и двух методов,
построенных на базе классического и обобщенного полиномов Бернштейна. Доказаны теоремы о сходимости указанных методов для уравнения соответственно
с непрерывными и квадратично суммируемыми коэффициентами. Эти теоремы,
в случае негладких исходных данных, показывают эффективность методов на
основе полиномов Бернштейна по сравнению с традиционным полиномиальным
проекционным методом коллокации.
В заключении кратко перечислены полученные в работе результаты.
В разделах принята своя нумерация формул.
Купить

В выпускной работе нами проведено систематическое исследование свойств классических полиномов Бернштейна Bn(f; x), а также построены их обобщения для
случая функций, имеющих разрывы второго рода. Для указанных обобщений
доказана их сходимость в среднем к искомой функции, квадратично суммируемой на соответствующем отрезке [0; 1]. Эти результаты распространены на
случай произвольного промежутка [a; b].
Исследованные нами классические и обобщенные полиномы Бернштейна далее используются при построении приближений к решению интегральных уравнений Фредгольма второго рода с непрерывными и разрывными коэффициентами. Полученные результаты показывают достоинства указанных вычислительных схем в случае негладких функций перед вычислительными схемами
проекционных методов, основанных на аппарате алгебраических полиномов.
Купить