Тема: ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СЛАГАЕМЫЕ В ВЕСОВЫХ НЕРАВЕНСТВАХ ТИПА ХАРДИ

Выпускная работа посвящена неравенствам типа Харди. Неравенства данного типа являются связующим звеном функции и ее производной в интегральном соотношении.
Актуальность. Неравенства Харди используются в разных областях математики и математической физики. Например, в теории интегральных и дифференциальных уравнений, в нелинейном анализе, при изучении краевых задач с особенностями. Известно, что Дж. Таленти, Дж. Томаселли, Б. Ма- кенхоупт, В.Г. Мазья, В.Д. Степанов, А. Куфнер и Л.Э. Перссон, В. Левин, Ф.Г. Авхадиев и К.-Й. Виртц, Д.В. Прохоров и ряд других математиков, используя неравенства данного типа, добились немалых результатов в своих работах.
Историческое развитие неравенств Харди берёт начало с дискретного и
интегрального аналога неравенств, которые впервые доказал Харди. Рассмотрим интегральный аналог [3].
Тогда кроме того случая, когда f = 0.
Позже это неравенство рассмотрел Э. Ландау и получил результаты с точной константой.
f'2 dp > А I — dp + B I dp, f (0) = 0,xaf L2[0,1],
Неравенства типа Харди (1) обобщались в различных направлениях. Например Ф.Г. Авхадиев и К.-Й. Виртц в статье [1] получили неравенства вида
для некоторых числовых параметров А, B и
dp = (fxJv (Ax 2 ))1—pdx,
где Jv (x) - функция Бесселя определяется следующим образом
и Л - некоторая константа, определение которой дадим ниже (см. подробнее [1] и [2]).
Полученные результаты Ф.Г. Авхадиева и К.-Й. Виртца с двумя точными константами приведены в Теоремах 1 и 2.
Теорема 1. Предположим, что p и v - положительные числа, и
Fv(x) := л/xJv(jv-ix^),
Равенство возникает тогда и только тогда, когда f (x) = Cx2 Jp(jv-1x22), где C - константа.
Теорема 2. Предположим, что p, v и q - положительные числа, z = Лv ( 2
первый положительный корень уравнения
Jv (z) + qzJ'v (z) = 0,
а также
Фv,q (x) 
Цель работы. Используя подход Авхадиева Ф. Г. и Виртца К.-Й., доказать новые весовые неравенства типа Харди с дополнительными слагаемыми. Отметим, что мы получаем ^-неравенства, то есть функция и её производная входят в неравенство с четвертой степенью.
Добавим, что задача постановки неравенств типа Харди с дополнительными слагаемыми поставили Х. Брезис и М. Маркус в статье [2], которая получила широкое развитие.
Основным результатом выпускной квалификационной работы является следующая теорема.

Купить

Итак, мы доказали весовые неравенства типа Харди с дополнительным слагаемым. Более подробно изложили доказательства неравенств Авхадиева и Виртца с двумя точными константами, доказательства которых были взяты из статьи [1]. Отметим, что мы доказали неравенство в L4 случае, то есть когда функция и её производная входят в неравенство с четвертой степенью.
Купить