ВВЕДЕНИЕ 3
1 Тестируемые вероятностные модели и расстояние между ними в равномерной метрике 6
2 Тестовые статистики и асимптотическая
нормальность их распределений 8
3 Построение критерия и вычисление его
асимптотической мощности 14
4 Оптимизация мощности критерия 18
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 21
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 22
ПРИЛОЖЕНИЕ
Надежность и гарантийный срок службы являются основными показателями качества выпускаемого изделия, поставляемого потребителем. Для того, чтобы рассчитать гарантийный срок службы по заданному ограничению снизу на надежность, требуется определить в первую очередь распределение долговечности выпускаемых изделий, то есть вероятностную модель случайной величины, реализация которой есть наблюдаемый срок жизни изделия. Вероятностная модель представляет собой некоторое семейство распределений, зависящее от параметров, таким образом, проблема надежности и гарантийного срока служб сводится к проверке гипотезы о справедливости вероятностной модели и оценки ее параметров по результатам наблюдений долговечности определенного количества изделий.
Цель дипломной работы — построить локально наиболее мощный критерий для выбора одной из двух вероятностных моделей надежности: модель старения и износа (гамма-распределение) и модель слабого звена (распределение Вейбулла). Актуальность выбора данной задачи определяется ее практической ценностью. Модели старения и слабого звена наиболее часто используются на практике с целью назначения гарантийного срока служб. Научная актуальность состоит в том, что к настоящему моменту не имеется оптимального критерия для различения этих моделей.
Первая модель старения и износа определяется гамма-распределением. Старение — естественный процесс изменения свойств и качества материала. Вместе с износом это приводит к тому, что материал теряет свои первоначальные свойства и начинает снашиваться. Таким образом, если статистические исследования подтверждают модель надежности типа старения и износа (принимается гипотеза, что данные долговечности имеют гамма- распределение), то следует проводить необходимые меры по устранению износа, например, смазывать трущиеся детали. Вторая - модель слабого звена. Она определяется распределением Вейбулла. Здесь рассматривается система, состоящая из последовательно соединенных между собой звеньев, отказ одного — слабого звена, влечет за собой отказ всей системы. Эта модель позволяет объяснить возникновение отказов, вызванных мелкими необнаруженными дефектами. Чтобы избежать появление отказов, вызываемых износом слабых звеньев или старых систем, нужно вовремя уметь определять срок службы и срок замены частей системы.
В дипломной работе совершенствуется статистический критерий для различения распределений гамма G(9,a) и Вейбулла W(92,в), представленный в работе [1], с точки зрения повышения его мощности до построения локально наиболее мощного критерия.
По тестированию моделей старения и слабого звена существует большое количество литературы, в частности, в казанском университете этой проблеме также уделялось большое внимание. Так в работах Володина И.Н. [2],[7] были предложены критерии различения этих моделей и ряда других. Результаты этих работ положены в основу моей дипломной работы. Следует также упомянуть статью Володина И.Н. и др. [6], где проводятся численные исследования мощности критериев для различения двух близких типов Вейбулла. Статья Адгамова И.И. и Володина И.Н. [8] посвящена различению более общих вероятностных моделей, определяемых распределением Вейбулла и обобщенного гамма-распределения Стейси [1].
В основу наших построений критериев по различению семейства распределений положена теория локальной асимптотической нормальности [5] (глава 7) и связанными с ней методами построения асимптотически локально наиболее мощных критериев [4].
Работа организована следующим образом: в первом параграфе выводится формула для вычисления расстояний в равномерной метрике между семействами распределений гамма и Вейбулла. Во втором параграфе приводится тестовая статистика и доказывается ее асимптотическая нормальность. В третьем параграфе строится критерий и вычисляется его асимптотическая мощность. В параграфе 4 происходит нахождение констант и приводятся графики мощности и вероятности ошибки первого рода критерия. Работа завершается заключением и выводами по проделанным исследованиям; приводится листинг разработанных программ, которые использовались в настоящей работе.
В работе построен локально наиболее мощный критерий для выбора одной из двух вероятностных моделей надежности, усовершенствован статистический критерий для различения распределений с точки зрения повышения его мощности до построения локально наиболее мощного критерия. Определено расстояние в равномерной метрике между семействами распределений гамма и Вейбулла и дана графическая иллюстрация этого расстояния. Рисунок поверхности расстояния показал, что существует область низких значений расстояний между этими моделями. Была определена тестовая статистика и доказана ее асимптотическая нормальность. Были получены явные формулы для частных случаев тестовой статистики (гамма- распределение и распределение Вейбулла), с помощью которых строились функции мощности и вероятности ошибки первого рода для рассматриваемых в работе критериев. Для построеных критериев вычислена асимптотическая мощность и представлены графические иллюстрации функции мощности. Графики показывают, что критерий для проверки гипотезы Вейбулла против гамма обладает нехорошим свойством параметрической несостоятельности — функция мощности стремится к нулю при стремлении к бесконечности параметра альтернативного распределения. Критерий гамма против Вейбулла не обладает свойством несмещенности в окрестности малых значений альтернативного параметра, но при дальнейших значениях этого параметра мощность критерия достаточно быстро приближается к единице.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
