Введение 3
1. Постановка задачи оптимального управления 7
2. Аппроксимация дифференциальной задачи 9
3. Седловая задача и итерационный метод ее решения 11
4. Численные результаты 14
Заключение 18
Список литературы 19
Приложение. Листинг программы
Оптимальное управление играет фундаментальную роль в решении серии прикладных задач. Задачи оптимального управления можно отнести к двум видам: задачи с сосредоточенными и распределенными параметрами. Как известно, задачи с распределенными параметрами распределяются на эллиптические, параболические и гиперболические задачи. В настоящей работе представлены задачи параболического типа с производными по времени целого и дробного порядков.
Для уравнений с производными целого порядка аналитическое решение можно найти лишь в отдельных случаях со строгими условиями на известные коэффициенты. Задачи с дробными производными по времени имеют более узкий класс точных решений. Именно поэтому актуальной становится задача поиска их численного решения.
Для более точного определения следующих исследований обратимся к работе Gisele М. Mophou [1], где применяется классическая теория управления к уравнению дробной диффузии в ограниченной области. Дробная производная по времени рассматривается в смысле Римини Лиувилля. В этой статье изучается существование и единственность решения дробной диффузии уравнения в гильбертовом пространстве. Затем доказывается, что рассматриваемая задача оптимального управления имеет уникальное решение. Интерпретация условия оптимальности первого порядка Эйлера-Лагранжа имеет сопряженную задачу, определенную правой дробной производной Капуто, и таким образом получается система оптимальности для задачи оптимального управления.
Также в работе [2] «Optimal control of a nonhomogeneous Dirichlet boundary fractional diffusion equation» Rene Dorville, Gisele M. Mophou, Vincent S. Valmorin
изучается неоднородное граничное дробное диффузионное уравнение Дирихле в ограниченной области. Дробная производная по времени рассматривается в смысле Римана-Лиувилля. В статье доказаны существование и единственности решения граничного дробного уравнения диффузии путем транспозиции. Затем при некоторых соответствующих предположениях о замкнутом выпуклом множестве допустимых управлений получена разделенная система оптимальности.
Задача об оптимальном управлении начинается с выбора математической модели реального управляемого процесса. Понятие о трех типах моделей (и их разновидностей) - детерминистической, стохастической и адаптирующейся, основанное на идеях теории автоматического управления, дается в работах Веллмана [3]
• Детерминистическая модель: рассматриваются задачи об оптимальном управлении для объекта, который описывается совокупностью обыкновенных дифференциальных уравнений или векторным уравнением.
• Стохастическая модель: учитывает действие случайных факторов различной природы с известными вероятностными характеристиками.
• Адаптирующаяся модель, учитывающая действие случайных факторов с неизвестными вероятностными характеристиками, которые уточняются в процессе управления объектом.
Перечислим коротко те задачи, которые заключаются в поиске оптимального управления:
1. Проблема существования допустимого управления, переводящего объект из одного заданного состояния в другое. Очень важна для теории оптимальных систем и связана непосредственно с «чистой» теорией управления^ также с теорией устойчивости по Ляпунову [4].
2. Вопросы существования, единственности оптимального управления, создание критериев, позволяющих выделить его из класса допустимых управлений, переводящих объект управления из одного заданного состояния в другое.
3. Приближенные методы — выяснение свойств оптимального управления, аппроксимация
Рассматриваемые методы могут найти широкое применение в промышленности. Более подробное рассуждение их применимости представлено, например, в статье «Overview to mathematical analysis for fractional diffusion equations - new mathematical aspects motivated by industrial collaboration» Junichi Nakagawa, Kenichi Sakamoto and Masahiro Yamamoto [5]. В данной статье в качестве такого возможного примера обсуждается уравнение дробной диффузии. Математика оказывается полезной для создания инноваций в индустриальной отрасли, и математические знания эффективно используются для этой цели. Однако, это только один аспект промышленной математики, где различные существующие математические знания применяются для решения необходимых предметов из отрасли. С другой стороны, можно видеть противоположное направление: решение прикладных задач побуждает исследователей на создание новых областей математики.
Цель работы - исследование параболических задач оптимального управления с построением эффективного алгоритма их численного решения.
Объект исследования - задачи оптимального управления с поточечными ограничениями на функции состояния и управления.
Работа состоит из четырех глав. В первой главе приведены вспомогательные сведения из теории вариационных неравенств и конечномерного выпуклого анализа, во второй главе описывается постановка задачи и доказательства OCHOBHBIX фактов. Итерационные методы решения описаны в третьей главе настоящей работы. Четвертая глава включает результаты численных расчетов.
Проведенное исследование в области численного анализа задач оптимального управления с производной дробного порядка показало, что проблема является нетривиальной ввиду большой трудоемкости и сложности вычислительной работы. Непустые множества ограничений на функции состояния и управления вызывают существенное замедление в итерационном процессе.
В ходе работы была доказана однозначна разрешимость сеточной задачи оптимального управления, при помощи функции Лагранжа предложен вариант седловой задачи с ограничениями, которая сводится к набору конечномерных включений. Решение этих включений является покоординатной проекцией правой части на множества ограничений. Предобусловливатель был выбран, во-первых, исходя из условия сходимости итерационного метода, а, во-вторых, его выбор определялся независимостью итерационного параметра от шагов сетки. Разработанные в среде Visual Studio алгоритмы представленного метода позволяют решать задачи с матрицами специального вида, при этом сохраняя простоту их реалиации.
Таким образом, можно сделать вывод, что обобщенные пред обусловленные методы для решения параболических задач оптимального управления с использованием множителей Лагранжа, приводящих к седловым задачам с ограничениями, позволяют эффективно решать поставленные задачи.
