Введение 3
Глава 1. Приведение уравнений с частными производными к каноническому виду 5
1.1. Приведение линейных уравнений 2-го порядка с двумя
независимыми переменными к каноническому виду 5
1.2. Приведение уравнений с частными производными 2-го порядка с
двумя независимыми переменными к каноническому виду 10
1.3. Приведение линейных уравнений 2-го порядка со многими
независимыми переменными к канонической форме 12
1.4. Приведение линейных уравнений 3-го порядка с двумя независимыми
переменными к канонической форме 16
Глава 2. Символьные вычисления и их использование в теории уравнений с частными производными 24
2.1. Системы компьютерной математики 24
2.2. Использование системы Maple для приведения уравнений с частными
производными к каноническому виду 28
Заключение 38
Список литературы 39
Актуальность. На сегодняшний день символьные вычисления применяются во многих разделах прикладной математики, физики и других науках. Среди задач, с которыми приходится иметь дело, значительную часть составляют дифференциальные уравнения в частных производных. Они возникают непосредственно при математическом моделировании многих реальных физических явлений в таких областях, как динамика жидкости, электричество и магнетизм, оптика, теплопередача. Для их решения часто используются специальные математические пакеты.
Существует достаточно много программ для решения математических задач. Все они отличаются количеством охватываемых функций, графикой, качеством и удобством интерфейса с пользователем, возможностью обмена данными с другими пакетами, областью применения и другими характеристиками. К таким пакетам относятся: MathCAD, MATLAB,
Mathematica и Maple.
С помощью современных математических программ можно выполнять различные численные и аналитические расчёты, от простых арифметических вычислений, до решения дифференциальных уравнений в частных производных, решения задач оптимизации, проверки статистических гипотез, средствами конструирования математических моделей и другими инструментами, необходимыми для проведения разнообразных технических расчётов.
Цель исследования: изучение некоторых классов уравнений с частными производными.
Задачи. Рассмотреть системы компьютерной математики, привести уравнения 2-го и 3-го порядка к каноническому виду с помощью символьных вычислений.
Объект исследования: уравнения с частными производными.
Предмет исследования: уравнения с частными производными 2-го порядка, 3-го порядка.
Методы исследования: Общие методы теории дифференциальных уравнений.
В рамках данной работы были решены примеры приведения уравнений с
частными производными к каноническому виду с помощью математического
пакета Maple. При изучении этой темы были разработаны программы для
приведения к каноническому виду уравнений в частных производных 2-го
порядка и в частных производных 3-го порядка.
Следует отметить, что приведение к каноническому виду
дифференциальных уравнений с частными производными является
неотъемлемой частью решения многих задач математики, физики и механики.
