Введение 3
1. Основные определения и факты 5
2. Риккартовость, полунаследственность и наследственность
специальных классов колец и полуколец 10
2.1. Кольца вычетов 10
2.2. Полукольца вида B(n,m) при m £ {1, 2} 13
2.3. Полукольца вида B(n,m) при m > 2 17
2.4. Матричные полукольца 18
Заключение 23
Список литературы 24
Теория полуколец и полумодулей является перспективным направлением современной алгебры. OCHOBЫ теории полуколец и полумодулей изложенные в различных книгах и монографиях (см., например, [1], [2]). Простейшими примерами полуколец могут служить полукольца натуральных чисел и неотрицательных вещественных чисел, а также двухэлементная булева алгебра. Полукольца и полумодули над ними имеют многочисленные применения в прикладной математике и теоретической кибернетике. Более того, они являются весьма широким обобщением колец и модулей, что позволяет рассматривать для них вопросы, аналогичные вопросам о модулях над кольцами. В частности, в теории колец и модулей изучаются такие свойства, как наследственность, полунаследственность и риккартовость. Изучение полуколец и полумодулей с аналогичными свойствами также представляет интерес.
Как важный пример конечных полуколец, в статье [3] были введены полукольца вида B(n,m). В частности, полукольцо B(n, 0) изоморфно кольцу вычетов Zn, а полукольцо B(2,1) является двухэлементной булевой алгеброй.
Основная цель данной выпускной работы состоит в исследовании свойств наследственности, полунаследственности и риккартовости для полуколец вида B(n,m), а также матричных полуколец над ними.
Работа содержит два раздела.
В первом разделе приводятся определения основных понятий, а также ряд фактов, используемых в работе.
Основное содержание работы представлено во втором разделе. В первом параграфе данного раздела изложено доказательство известного критерия наследственности (полунаследственности, риккартовости) кольца вычетов Zn. Во втором параграфе для полу колец вида B (n, 1) и B (n, 2) доказана эквивалентность свойств наследственности, полунаследственности и риккартовости, а также найдено необходимое и достаточное условие выполнения этих свойств. Третий параграф посвящен изучению тех же свойств для полуколец вида B(n,m) при m > 2. В последнем параграфе свойства наследственности, полунаследственности и риккартовости изучаются для полных матричных полуколец, установлено, что эти свойства не выполняются для достаточно широкого класса матричных полуколец.
В конце работы приведено заключение, а также список использованной литературы в порядке цитирования в тексте.
В данной выпускной работе были изучены свойства наследственности, полунаследственности и риккартовости для полуколец вида В(n, m). Было установлено, что для полуколец В(n, 0),В(n, 1 ),В(n, 2) данные свойства эквивалентны и имеют место в точности тогда, когда число n — m свободно от квадратов, а для полуколец вида В(n, m) при больших m, то есть при m > 2, не выполняется даже свойство риккартовости. Также показано, что если полуколвцо содержит хотя бы один ненулевой аддитивный идемпотент, то полуколвцо матриц порядка строго болвшего двух над ним не является риккартовым. В частности, полуколвцо матриц порядка строго болвшего двух над В(n, m) при m > 0, не риккартово.
