Введение 3
Глава 1 Теоретические основы применения определенного интеграла в геометрии и физике 4
1.1 Интеграл Римана как функция верхнего (нижнего) предела интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница 4
1.2 Геометрические приложения определенного интеграла 6
1.3 Физические приложения определенного интеграла 11
Глава 2 Практическое применение геометрических и физических приложений определенного интеграла к решению задач 17
2.1 Геометрические задачи 17
2.2 Физические задачи 19
Заключение 23
Список используемых источников и литературы 25
Понятие определенного интеграла является наиболее важным среди основных понятий математического анализа. Однако, в процессе изучения этой темы возникают определённые трудности, связанные с высокой степенью абстрактности вводимых понятий; достаточно сложной логической структурой вводимых определений; недостаточным количеством часов, выделенных для изучения темы, и многое другое.
Однако данная тема имеет огромное прикладное значение.
Таким образом, выбранная тема курсовой работы «Приложения определенного интеграла в геометрии и физике» является актуальной.
Цель исследования – изучить геометрические и физические приложения определенного интеграла.
Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд задач:
изучить понятие определенного интеграла, его геометрический смысл;
изучить геометрические приложения определенного интеграла;
изучить физические приложения определенного интеграла;
привести конкретные примеры решения геометрических и физических задач с помощью определенного интеграла.
Объект исследования – определенный интеграл. Предмет исследования – приложения определенного интеграла в геометрии и физике.
Методы исследования: изучение специальной литературы по математическому анализу, систематизация, обобщение, практическое применение изученного материала.
Теоретическую базу исследования составили работы Л.Д. Кудрявцева,
Г.И. Запорожца, Г.М. Фихтенгольца и др.
Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованных источников.
В силу абстрактности понятия определенного интеграла интегральное исчисление широко применяется к самым разнообразным вопросам геометрии, механики, физики, химии, экономики и другим научным дисциплинам, причем решение задачи проводится по одной и той же схеме.
Как правило решение прикладных задач с использование определенного интеграла осуществляется по двум схемам:
1. Метод интегральных сумм;
2. Метод дифференциала.
При решении прикладных задач рекомендуется использовать метод математического моделирования. При решении прикладных задач методом математического моделирования необходимо выполнить следующие этапы: выполнить анализ условия, перевести его на математический язык, составить математическую модель задачи, выполнить преобразование составленной модели, получить математическое решение, исследовать и провести интерпретацию поученного решения в терминах задачи.
Для составления математической модели задачи можно выделить следующие действия:
проанализировав условие задачи выяснить, какие существуют взаимосвязи между известными и неизвестными величинами;
составить математическую модель условия задачи, используя установленные взаимосвязи.
Этап преобразования модели связан с методами преобразования определенных классов математических объектов: уравнений, неравенств, их систем и др. Для этого этапа рекомендуется следующая последовательность действий:
выяснить, в виде какого математического объекта (уравнение, неравенство, система и т.д.) представлена математическая модель;
из известных в математике приёмов преобразования модели вспомнить и выбрать применимые к её виду.
преобразовать составленную модель и получить результат в виде формулы или числа.
проверить правильность преобразований математической модели (выполнить подстановку, выполнить обратные операции и т.п.).
Процесс интерпретации математического результата прикладной задачи может содержать следующие виды действий: проверить адекватности полученного результата условиям задачи, в случае необходимости следует выполнить дополнительное исследование полученного решения (например, математическими средствами); полученный результат с математического языка перевести на язык области приложения; представить результат в содержательных терминах задачи.
