Введение 3
1 Проективная геометрия и методы изображений 5
1.1 Возникновение проективной геометрии. Центральное проектирование. Предмет проективной геометрии 5
1.2 Понятие проективного пространства. Модели проективной прямой и проективной плоскости 10
1.2.1 Определение проективного пространства 10
1.2.2 Модели проективной прямой и проективной плоскости 11
1.2.3 Изоморфизм 15
1.2.4 Аффинная модель проективного пространства 15
1.3 Проективные координаты 16
1.3.1 Определение проективных координат 16
1.4 Расширенная прямая 17
1.4.1 Проективные реперы на расширенной прямой 19
1.5 Расширенная плоскость 19
1.5.1 Проективные реперы на расширенной плоскости 21
1.6 Принцип двойственности. Теорема Дезарга 22
1.7 Проективные преобразования плоскости и прямой. Инвариантные точки
и инвариантные прямые 23
1.7.1 Проективные преобразования плоскости и прямой 23
1.7.2 Инвариантные точки и инвариантные прямые 26
1.8 Гомологии, Виды гомологий на расширенной плоскости 28
1.9 Двойное (сложное) отношение 32
1.9.1 Сложное отношение четырех прямых пучка 33
1.9.2 Полный четырёхвершинник 34
1.10 Методы изображений 35
1.10.1 Основные виды проектирования 35
1.10.2 Изображение плоских фигур в параллельной проекции 41
1.10.3 Изображение пространственных фигур в параллельной проекции 45
1.11 Методы проектирования 49
1.11.1 Метод Монжа 49
1.11.2 Аксонометрия 52
1.11.3 Полные и неполные изображения 54
2 GeoGebra как средство для разработки графического сопровождения
к курсу 56
2.1 О программе GeoGebra 56
3 Задачи проективной геометрии и методов изображений 57
3.1 Задачи школьного курса геометрии 57
3.2 Задачи на проективный репер 58
3.2.1 Построение точки по ее координатам в заданном репере на прямой 58
3.2.2 Построение точки по ее координатам в заданном репере на плоскости 59
3.3 Задачи на теорему Дезарга и принцип двойственности 61
3.4 Задачи на гомологию 65
3.5 Построение сечения призмы(Метод соответствующих точек) 66
3.6 Построение сечения призмы(Метод следа) 67
3.7 Построение сечения пирамиды 68
3.8 Построение сечения цилиндра 69
3.9 Построение сечения конуса 70
3.10 Позиционная задача 71
Заключение 72
Литература
Актуальность данной работы заключается в том, что наиболее важной проблемой в образовании, особенно математического, являются проблемы заинтересованности учащегося в изучении того или иного материала и возможности его эффективного усвоения. Динамическое моделирование математических объектов в настоящее время служит средством достижения цели образовательного процесса. Преподавание математики с использованием возможностей интерактивной геометрической среды GeoGebra помогает учащимся не только развивать мышление, но и формирует принцип исследовательской деятельности,
В данной выпускной квалификационной работе рассматривается тема "Проективная геометрия и методы изображений". Тема выпускной квалификационной работы выбрана не случайным образом. Изучение проективного пространства геометрических построений на плоскости и в пространстве занимает особое место в геометрическом образовании учителя математики. Элементы аналитической геометрии уже прочно вошли в школьный курс. Сюда входят: системы координат, уравнения прямой и плоскости, их взаимное расположение и частные случаи расположения относительно координатных осей. Элементы конструктивных методов представлены задачами на построение отрезков, углов равных данным, деления их пополам, построения серединного перпендикуляра, биссектрисы угла треугольников по заданным элементам, построение множеств точек, удовлетворяющих определённым условиям. Впрочем, учитель должен уметь предоставлять научное объяснение вопросам, которые рассматриваются при изучении с учащимися, Воспитанию таких навыков в основном помогает дисциплина "Проективная геометрия".
Целью выпускной квалификационной работы является разработка графического сопровождения к курсу "Проективная геометрия и методы изображений "в среде GeoGebra, Данное графическое сопровождение предназначена для студентов математических факультетов, а также позволяет использовать при решении задач школьного курса геометрии. Знание данной дисциплины способствует развитию пространственного мышления и может значительно помочь в научно-исследовательской работе.
Задачи:
• Изучить историю возрождения проективной геометрии;
• Познакомиться с основными понятиями проективной геометрии, методов изображения;
• Изучить школьные материалы по данному курсу;
• Научиться строить разнообразные динамические модели в среде Geogebra,
Целью выпускной квалификационной работы была разработка графического сопровождения к курсу "Проективная геометрия и методы изображений "в среде GeoGebra, С одной стороны,эти модели могут быть использованы в качестве демонстрации, а е другой стороны построение таких моделей может быть предложена ученикам на уроках информатики или в качестве самостоятельной работы, таким образом продемонстрировать учащимся междисциплинарную связь геометрия-информатика. Повторяя построения, по уже разработанной модели, ученики лучше освоят принципы программирования.
Изучение проективной геометрии даёт нам возможность взглянуть на мир под другим углом, развить представления о практическом применении геометрии. Освоение такого рода материала поможет учителю повысить интерес учащихся к обучению. Понимая саму суть геометрии, учитель может разработать наиболее рациональные методы обучения. Включив эту тему в программу факультативных занятий е детьми, педагог способствует развитию абстрактного мышления, расширению кругозора учащихся,
В соответствии с целью и задачами дипломной работы в итоге получены следующие результаты:
• Была изучена история возникновения проективной геометрии;
• Познакомились с основными понятиями проективной геометрии, методов изображения;
• Были изучены школьные материалы по данной теме;
• Были рассмотрены также различные средства наглядности, модели, разработанные с использованием компьютерной программы GeoGebra, которые могут быть использованы при изучении данной темы.
