Введение 3
Глава 1. Некоторые факты геометрии Лобачевского
1.1. История создания геометрии Лобачевского 5
1.2. Прямые на плоскости Лобачевского 6
1.3. Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского 11
Глава 2. Конструктивные задачи на моделях плоскости Лобачевского 16
Глава 3. Геометрические построения на абстрактной плоскости Лобачевского 22
3.1. Функция Лобачевского для угла параллельности 24
3.2. Трипрямоугольник 26
3.3. Применение свойств трипрямоугольника для построения параллельных
прямых на абстрактной плоскости Лобачевского 29
3.4. Сходства и отличия в разрешимости задач на построение на плоскости
Евклида и Лобачевского 31
Заключение 33
Список литературы

Купить

Геометрия является ведущей наукой ещё с древних времен. Практическая деятельность все ставала движущей силой к исследованию пространственных форм. Древнегреческий ученый Эдем Родосский в IV веке до нашей эры писал: «Геометрия была открыта египтянами, и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нил, постоянно смывавшей границы. Нет ничего удивительного, что эта наука, как и другие, возникла из потребности человека» [1].
Многие первоначальные геометрические сведения получили также шумеро-вавилонские, китайские и другие ученые древнейших времен. Устанавливались они сначала только опытным путем, без логических доказательств.
Греки сформировали геометрию как науку, когда смогли систематизировать и доказать все геометрические факты закономерности, которые были получены на ранних этапах развития.
В III веке до нашей эры греческий ученый Евклид привел в систему известные ему геометрические сведения в большом сочинении «Начала». Эта книга более двух тысяч лет служила учебником геометрии во всем мире.
Детально изучив труд Евклида ученые увидели, что в данной работе есть множество недоработок. Например, число аксиом, сформулированных Евклидом, является недостаточным для строгого изложения геометрии, поэтому Евклид при изложении некоторых своих доказательств опирался на непосредственную очевидность, наглядность, интуицию и чувственные восприятия [1].
Кроме школьной геометрии или как её ещё называют геометрией Евклида или употребительной геометрией, имеет место ещё один вид геометрии, это геометрия Лобачевского. Она имеет ряд отличий от евклидовой.
Например, в ней утверждается, что через данную точку можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной прямой, что сумма углов треугольника меньше 180о. В геометрии Лобачевского не существует прямоугольников, подобных треугольников и так далее.
Подспорьем к созданию неевклидово геометрии послужили попытки доказательство V постулата Евклида, который имеет название аксиома параллельности. Создание данной геометрии перевернуло все обычные представления о реальности. Но если следовать логике, неевклидова геометрия ничуть не хуже евклидовой.
Попытки логически безупречно обосновать геометрию продолжались в течение многих сотен лет. Открытие в начале XIX века неевклидовой геометрии Н.И. Лобачевским, Я. Бояи и К. Гауссом явились толчком к дальнейшему развитию аксиоматического метода, который привел к попыткам нового дедуктивного построения геометрии, отвечающего современным требованиям науки [1].
Целью данной работы является рассмотрение различных конструктивных задач на плоскости Лобачевского, приведение примеров решения некоторых задач. Конструктивные задачи рассматриваются как на абстрактной плоскости Лобачевского, так и в модели.
Объектом исследования является плоскость Лобачевского. Предметом исследования являются конструктивные задачи на плоскости Лобачевского, сравнительный анализ разрешимости задач на построение на плоскостях Евклида и Лобачевского.

Купить