Тема: ТРЕХМЕРНАЯ ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НА РЕШЕТКЕ В ПЛОСКОМ ВОЛНОВОДЕ

В магистерской диссертации рассматриваются трехмерные задачи дифракции электромагнитных волн на тонких проводящих экранах, размещенных в поперечном сечении плоского волновода. Задачи дифракции электромагнитных волн на тонких проводящих пластинах ставятся как граничные задачи (или задачи сопряжения) для уравнений Максвелла или для уравнения Гельмгольца. Методами теории потенциала такие задачи могут быть сведены к интегральным уравнениям (ИУ) различного типа [1]. Интегральные уравнения, эквивалентные исходным задачам дифракции в открытом пространстве, также могут быть получены методом интегрального преобразования Фурье. Для численного решения интегральных уравнений обычно используется метод Галеркина.
Если экраны образуют периодическую структуру, то решения уравнений Максвелла или уравнения Гельмгольца можно искать в виде волн Флоке, то есть как квазипериодические функции. Различные подходы к исследованию задач дифракции электромагнитных волн на периодических решетках в пространстве изложены в работах [2, 3, 4].
В закрытых волноводных структурах искомое электромагнитное поле можно разложить в ряд по собственным волнам этой структуры [5, 6]. Из граничных условий на металле и условий сопряжения полей на сечении волновода вне экрана выводятся бесконечные системы линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) для коэффициентов таких разложений.
К классическим задачам волноводной электродинамики относится двумерная задача дифракции волны на поперечной перегородке в плоском волноводе. Техника сведения этой задачи к БСЛАУ состоит в следующем. Условия на сечении волновода записываются как парное сумматорное функциональное уравнений (ПСФУ) относительно коэффициентов разложения искомых функций по элементарным гармоникам. Парное сумматорное функциональное уравнение преобразуется методом интегрально-сумматорного тождества [7, 8] к БСЛАУ.
В магистерской диссертации исследуются трехмерные задачи дифракции электромагнитных волн на тонких проводящих пластинах, размещенных между двумя параллельными проводящими плоскостями, то есть в поперечном сечении трехмерного плоского волновода. Предположение о том, что поле не зависит от одной из пространственных координат, не делается. Рассматривается гармоническое по времени электромагнитное поле, зависящее от всех трех пространственных координат.
В первом разделе рассмотрен случай, когда экраны образуют бесконечную периодическую решетку. Искомые решения уравнений Максвелла отыскиваются в виде разложений в двойные ряды Фурье-Флоке. Из граничных условий и условий сопряжения в поперечном сечении волновода выводятся БСЛАУ для коэффициентов разложений.
Во втором разделе исследован случай, когда в поперечном сечении плоского трехмерного волновода имеется только одна тонкая проводящая пластина. В этом более сложном случае объединены два подхода: по одной поперечной координате искомые решения разлагаются в ряды Фурье, а по другой поперечной координате применяется интегральное преобразование Фурье. В итоге задача дифракции сводится к бесконечной системе одномерных интегральных уравнений, при численном решении которых применяется метод Галеркина.
Третий раздел посвящен некоторым особенностям программной реализации методов приближенного решения БСЛАУ и ИУ, которые были получены в предыдущих разделах. Также в этом разделе отображены результаты экспериментов, которые показывают адекватность построенных моделей в первом и втором разделах.

Купить

В магистерской диссертации были рассмотрены две трехмерные задачи дифракции электромагнитной волны на тонких проводящих экранах. В каждой задаче была получена математическая модель. Реализован программный алгоритм для расчета полученной модели. Для оптимизации алгоритмов применены технологии параллельного программирования (OpenMP, MPI). Проведены дополнительные проверки правильности полученных решений.
Установлено, что в случае дифракции электромагнитной волны на периодической системе экранов задача сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения искомого поля по собственным волнам волноводной структуры. Приближенное решение такой БСЛАУ получается методом усечения, когда рассматривается только конечное число неизвестных и столько же уравнений.
В случае одной металлической пластины рассматриваемая задача эквивалентна бесконечной системе одномерных интегральных уравнений. Приближенное решение этой системы находится при помощи метода усечения, когда к усеченной системе применяется метод Галеркина. В качестве координатной и проекционной систем функций удобно использовать полиномы Чебышева 1-го рода, так как они являются собственными функциями интегрального уравнения с логарифмическим ядром.
Также в магистерской диссертации продемонстрировано, как технологии параллельного программирования могут ускорить счет полученных моделей. В случае периодической решетки для построения одной большой СЛАУ удобно было использовать технологию OpenMP. И далее отдать ее решение одному процессу, так как метод Гаусса, который использовался для решения, плохо поддается распараллеливанию. Для случая одной пластины разумно было использовать технологию MPI, чтобы
одновременно решать все полученные СЛАУ на каждом процессе. В конце просто аккумулировать все полученные решения на одном потоке.
Проверка адекватности модели (внутренняя сходимость и условие на металле) также показывает, что математические модели верно описывают рассматриваемые физические процессы.

Купить