Введение 2
2 Вспомогательные результаты 3
2.1 Результаты из теории приближения функций сплайнами .... 3
2.2 Сплайн первой степени 4
2.3 Сплайн третьей степени 5
2.4 Сведения из общей теории приближенных методов анализа .... 6
2.5 Сведения из функционального анализа 7
3 Сплайн — методы коллокационного типа 8
3.1 Метод сплайн-коллокации первой степени 8
3.2 Метод сплайн-подобластей первой степени 11
3.3 Об одной схеме сплайн-метода в случае разрывных коэффициентов 13
4 Исследование задачи Коши (2.1), (2.2) 16
5 Выбор краевых условий при решении сплайн^методом 19
6 Смешанный метод для дифференциальных уравнений 22
7 Заключение 26
Литература
Купить

С середины прошлого столетия для приближения функций, наряду с классическим аппаратом алгебраических и тригонометрических полиномов, начали интенсивно использовать аппарат так называемых сплайн-функций. Этому в значительной степени способствовали их хорошие аппроксимативные свойства в случае недостаточно гладких функций.
В настоящее время сплайн-функции используются при решении задач из разных областей естествознания, в том числе, при решении задач для дифференциальных уравнений (см., например, [1-5, 7]). Следует отметить, что точно решить последние задачи удается лишь в редких частных случаях.
Поэтому задача приближенного решения дифференциальных уравнений, в том числе и с использованием аппарата сплайн-функций, является актуальной.
Выпускная работа посвящена построению и исследованию вычислительных схем приближенных сплайновых методов решения задачи Коши и краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Работа состоит из введения, пяти параграфов, заключения и списка литературы.
В первом разделе приводятся вспомогательные результаты из теории приближения функций сплайнами [5, 7] (см. также в [1, 2]), из общей теории приближенных методов анализа [3, 6] (см. также в [2]), сведения из функционального анализа (см., например, в [6]).
Второй раздел посвящен построению и исследованию вычислительных схем методов сплайн-коллокации и сплайн-подобластей решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с непрерывными и разрывными коэффициентами.
В третьем разделе проводится исследование задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Показано, что данная задача в специальным образом выбранной паре пространств искомых элементов и правых частей представляет собой уравнение, приводящееся к уравнению второго рода с вполне непрерывным оператором.
В четвертом разделе проводится исследование вопроса выбора краевых условий при аппроксимации точного решения краевой задачи для дифференциальных уравнений второго порядка сплайнами третьей степени. Показано, что соответствующие сплайны, подчиненные краевым условиям четвертого типа и найденные по методу кол локации, сходятся равномерно к точному решению задачи.
Пятый раздел посвящен приближенному решению краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами. Здесь предлагается смешанный метод на основе сплайнов третьей степени. Построена вычислительная схема и доказана сходимость этого метода; в частности, показана равномерная сходимость приближенных решений к точному решению исходной задачи.
В заключении кратко сформулированы полученные в работе результаты. 

Купить