Многоугольные фигуры на плоскости Лобачевского
|
Введение 3
1. Основные тригонометрические формулы и теория на плоскости
Лобачевского 6
1.1. История появления гиперболической геометрии Лобачевского 6
1.2. Основные тригонометрические формулы геометрии Лобачевского 10
1.3. Четырехугольники на плоскости Лобачевского 11
1.4. Теорема Пифагора 12
4а. Замечание к теореме Пифагора 13
1.5. Площадь треугольника 14
2. Четырехугольники специального вида на плоскости Лобачевского 15
2.1. Тригонометрия трипрямоугольника 15
2.2. Тригонометрия двупрямоугольника I рода 21
2.3. Тригонометрия двупрямоугольника II рода 25
Анализ состава исторической справки о Н.И. Лобачевском в школьном курсе математики 29
Заключение 31
Список использованной литературы 33
1. Основные тригонометрические формулы и теория на плоскости
Лобачевского 6
1.1. История появления гиперболической геометрии Лобачевского 6
1.2. Основные тригонометрические формулы геометрии Лобачевского 10
1.3. Четырехугольники на плоскости Лобачевского 11
1.4. Теорема Пифагора 12
4а. Замечание к теореме Пифагора 13
1.5. Площадь треугольника 14
2. Четырехугольники специального вида на плоскости Лобачевского 15
2.1. Тригонометрия трипрямоугольника 15
2.2. Тригонометрия двупрямоугольника I рода 21
2.3. Тригонометрия двупрямоугольника II рода 25
Анализ состава исторической справки о Н.И. Лобачевском в школьном курсе математики 29
Заключение 31
Список использованной литературы 33
Геометрия - это самая древняя наука. Она зарождена в Древнем Египте как некоторые алгоритмы для решения поставленных задач, для построек зданий, выбора участков земли, вычисление объема, площади и других величин. Ученый Древней Греции в шестнадцатом веке до нашей эры Эдем Родосский говорил: «Геометрия была открыта египтянами, и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нил, постоянно смывавшей границы. Нет ничего удивительного, что эта наука, как и другие, возникла из потребности человека.»
Впервые геометрия стала наукой в Древней Греции, когда официально были созданы и доказаны основные теоремы. Основные теоремы в области геометрии были собраны около 300 лет до н.э. великим греческим ученым Евклидом и написаны в его замечательной серии книг «Начала», которая состояла из 30 книг. Данный шедевр является одним из первых, дошедших до нашего времени точным логическим построением геометрии. Книга ученого долгое время была образцом решения геометрических задач.
И все же геометрия развивалась не столь медленно. Различные великие ученые находили и другие методы построения геометрии. Очень часто многие ученые лишь доказывали постулаты Евклида, но известный многим пятый постулат для всех ученых считался неправдивым. Около 2000-х тысяч лет так и никто не мог доказать данный постулат, который звучал «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.»
Только в 19 веке нашелся такой великий человек из Казанского университета, который смог создать геометрию различной от евклидовой. Этот человек - Николай Иванович Лобачевский. Благодаря ему нам и дана абсолютно новая неевклидовая геометрия Лобачевского. Она предоставлена на тех же основных постулатах и теоремах, что и евклидова геометрия, за исключением пятого постулата о параллельных прямых.
Я решила выбрать тему «Многоугольные фигуры на плоскости Лобачевского». Данная тема мне понравилась тем, что геометрия Лобачевского очень своеобразна, в ней много интересного, а также дано ее понять не многим, а только людям с сильным пространственным воображением. Всеми известные фигуры евклидовой плоскости будут выглядеть иначе. Это напоминает ситуацию с классической физикой и теорией относительности А. Энштейна.
Актуальность дипломной работы заключается в том, что геометрические построения многоугольных фигур на плоскости Лобачевского должны иметь свое отражение в школьном курсе геометрии в силу недостаточности подготовки учащихся в этой части, также по данным темам публикуются статьи в научных журналах. Целью данной работы является изучение четырехугольников специального вида на плоскости Лобачевского.
В соответствии с поставленной целью в данном исследовании решались следующие задачи:
1. Изучение основных теорем на плоскости Лобачевского.
2. Изучение взаимосвязей между элементами трипрямоугольника.
3. Изучение взаимосвязей между элементами двупрямоугольников I рода.
4. Изучение взаимосвязей между элементами двупрямоугольников II рода.
Объектом исследования является многоугольники на плоскости Лобачевского.
Предмет исследования - метрические соотношения в многоугольных фигурах, в частности в многоугольниках специального вида.
При написании данной работы использовались следующие методы: анализировалась научно-популярная литература, проводился поиск и отбор материалов, посвященных данной теме, проводилась их обработка и сравнение.
Дипломная работа состоит из введения, основного содержания и заключения. Основное содержание работы изложено в двух главах. В список литературы вынесены источники, изученные в ходе выполнения работы.
В первой главе приводятся исторические сведения о создании геометрии Лобачевского, также основные тригонометрические формулы.
Вторая глава посвящена изучению четырехугольников специально вида на плоскости Лобачевского.
Заключение содержит рассуждения о важности изученного вопроса, о ценности математических открытий Лобачевского для науки.
Впервые геометрия стала наукой в Древней Греции, когда официально были созданы и доказаны основные теоремы. Основные теоремы в области геометрии были собраны около 300 лет до н.э. великим греческим ученым Евклидом и написаны в его замечательной серии книг «Начала», которая состояла из 30 книг. Данный шедевр является одним из первых, дошедших до нашего времени точным логическим построением геометрии. Книга ученого долгое время была образцом решения геометрических задач.
И все же геометрия развивалась не столь медленно. Различные великие ученые находили и другие методы построения геометрии. Очень часто многие ученые лишь доказывали постулаты Евклида, но известный многим пятый постулат для всех ученых считался неправдивым. Около 2000-х тысяч лет так и никто не мог доказать данный постулат, который звучал «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.»
Только в 19 веке нашелся такой великий человек из Казанского университета, который смог создать геометрию различной от евклидовой. Этот человек - Николай Иванович Лобачевский. Благодаря ему нам и дана абсолютно новая неевклидовая геометрия Лобачевского. Она предоставлена на тех же основных постулатах и теоремах, что и евклидова геометрия, за исключением пятого постулата о параллельных прямых.
Я решила выбрать тему «Многоугольные фигуры на плоскости Лобачевского». Данная тема мне понравилась тем, что геометрия Лобачевского очень своеобразна, в ней много интересного, а также дано ее понять не многим, а только людям с сильным пространственным воображением. Всеми известные фигуры евклидовой плоскости будут выглядеть иначе. Это напоминает ситуацию с классической физикой и теорией относительности А. Энштейна.
Актуальность дипломной работы заключается в том, что геометрические построения многоугольных фигур на плоскости Лобачевского должны иметь свое отражение в школьном курсе геометрии в силу недостаточности подготовки учащихся в этой части, также по данным темам публикуются статьи в научных журналах. Целью данной работы является изучение четырехугольников специального вида на плоскости Лобачевского.
В соответствии с поставленной целью в данном исследовании решались следующие задачи:
1. Изучение основных теорем на плоскости Лобачевского.
2. Изучение взаимосвязей между элементами трипрямоугольника.
3. Изучение взаимосвязей между элементами двупрямоугольников I рода.
4. Изучение взаимосвязей между элементами двупрямоугольников II рода.
Объектом исследования является многоугольники на плоскости Лобачевского.
Предмет исследования - метрические соотношения в многоугольных фигурах, в частности в многоугольниках специального вида.
При написании данной работы использовались следующие методы: анализировалась научно-популярная литература, проводился поиск и отбор материалов, посвященных данной теме, проводилась их обработка и сравнение.
Дипломная работа состоит из введения, основного содержания и заключения. Основное содержание работы изложено в двух главах. В список литературы вынесены источники, изученные в ходе выполнения работы.
В первой главе приводятся исторические сведения о создании геометрии Лобачевского, также основные тригонометрические формулы.
Вторая глава посвящена изучению четырехугольников специально вида на плоскости Лобачевского.
Заключение содержит рассуждения о важности изученного вопроса, о ценности математических открытий Лобачевского для науки.
Трипрямоугольники, двупрямоугольники (I и II рода) - многоугольники специального вида на плоскости Лобачевского. Данные многоугольники широко распространяются в изучении геометрии Лобачевского в факультетах университета с математическим уклоном. Происходит множество различных конференций, где показывают свои исследования большое количество студентов. Также публикуются исследования в различных журналах, пишутся интересные статьи.
Нами были исследованы четырехугольники специального вида на плоскости Лобачевского. Выявлены определенные соотношения между элементами трипрямоугольника, двупрямоугольников (I и II рода). С особым интересом нами были решены задачи.
Открытие Лобачевского всколыхнуло умы ученых, как современников, так и последователей великого ученого. Лобачевский вошел в историю математики не только как гениальный математик, но и как автор фундаментальных работ в области алгебры, теории бесконечных рядов и приближенного решения уравнений, в области теории вероятности, физики, механики, астрономии. Известный английский математик Уильям Клиффорд назвал Лобачевского «Коперником геометрии». Многие ученые ставили его своим идеалом. До сих пор проходят различные исследование в геометрии Лобачевского. Многие результаты исследований публикуются в публичных журналах различных стран. Те, кто понимает геометрию Лобачевского, являются хорошими математиками, ведь, не понимая ее, нельзя закончить физико-математический факультет.
Геометрия Лобачевского помогает по-другому взглянуть на окружающий мир. Мне близко название, которое дал своему открытию сам Николай Иванович - «Воображаемая геометрия». А ведь на самом деле геометрия Лобачевского удивительна и во многом не соответствует представлениям о реальном мире. Но в логическом отношении данная геометрия не уступает геометрии Евклида. Жизнь Николая Ивановича Лобачевского может служить примером того, как добиваться поставленной цели. Даже оставшись в одиночестве, он не отступил, продолжал свои исследования. Геометрия Лобачевского способствовала и способствует более глубокому пониманию окружающего нас материального мира. Изучение космического пространства, исследования в области высоких энергий и многое другое было бы невозможно без применения геометрии Лобачевского.
Нами были исследованы четырехугольники специального вида на плоскости Лобачевского. Выявлены определенные соотношения между элементами трипрямоугольника, двупрямоугольников (I и II рода). С особым интересом нами были решены задачи.
Открытие Лобачевского всколыхнуло умы ученых, как современников, так и последователей великого ученого. Лобачевский вошел в историю математики не только как гениальный математик, но и как автор фундаментальных работ в области алгебры, теории бесконечных рядов и приближенного решения уравнений, в области теории вероятности, физики, механики, астрономии. Известный английский математик Уильям Клиффорд назвал Лобачевского «Коперником геометрии». Многие ученые ставили его своим идеалом. До сих пор проходят различные исследование в геометрии Лобачевского. Многие результаты исследований публикуются в публичных журналах различных стран. Те, кто понимает геометрию Лобачевского, являются хорошими математиками, ведь, не понимая ее, нельзя закончить физико-математический факультет.
Геометрия Лобачевского помогает по-другому взглянуть на окружающий мир. Мне близко название, которое дал своему открытию сам Николай Иванович - «Воображаемая геометрия». А ведь на самом деле геометрия Лобачевского удивительна и во многом не соответствует представлениям о реальном мире. Но в логическом отношении данная геометрия не уступает геометрии Евклида. Жизнь Николая Ивановича Лобачевского может служить примером того, как добиваться поставленной цели. Даже оставшись в одиночестве, он не отступил, продолжал свои исследования. Геометрия Лобачевского способствовала и способствует более глубокому пониманию окружающего нас материального мира. Изучение космического пространства, исследования в области высоких энергий и многое другое было бы невозможно без применения геометрии Лобачевского.
Подобные работы
- ТЕОРЕМА СМАРАНДАЧА И ЕЕ АНАЛОГИ
Бакалаврская работа, математика. Язык работы: Русский. Цена: 4820 р. Год сдачи: 2017