Выпускная квалификационная работа посвящена неравенствам типа Харди.
Актульность. Неравенства Харди используются в разных областях математики и математической физики, в теории интегральных и дифференциальных уравнений, в нелинейном анализе и при изучении краевых задач.
Примеры использования неравенств типа Харди можно увидеть в работах
Т. Вейдла, А.В. Соболева, А. Лаптева и других. Например, Ф.Г. Авхадиев
применял неравенства типа Харди при оценке жесткости кручения, а С.Л. Соболев использовал их в теории вложений функциональных пространств.
Неравенство Харди также можно трактовать как принцип неопределенности Гейзенберга (см. [8]). Принцип неопределенности Гейзенберга утверждает,
что, координата микрочастицы x и его импульс p, не могут быть определены
одновременно. Например,
Z 3R
jp b(p)j2dp = Z
R3
jr (x)j2dx ≥ 1
4 Z
R3
j (x)j2
jxj2 dx;
где 2 L2(R3) – волновая функция, j (x)j2 – плотность вероятности положения частицы, j b(p)j2 – плотность вероятности импульса частицы, а p = −ir.
Отсюда следует, что частица локализована в начале координат, при этом
jxj и jpj не могут быть одновременно малыми.
Так неравенство Гейзенберга является следствием соответствующего неравенства Харди:
Z
Rn
jxj2j (x)j2dx
12
Z
Rn
jp b(p)j2dp
12
≥
n 2
; Z
Rn
j (x)j2dx = 1
для n ≥ 3.
Широкое развитие теория неравенств типа Харди получили лишь во второй половине 20 века. Помимо самого Харди, были получены важные резуль-
3таты такими авторами, например, как Дж. Томаселли, В.Д. Степанов, К.-Й.
Виртц, Д.В. Прохоров, Дж. Таленти, В.Г. Мазья, Ю.А. Дубинский, Ф.Г. Авхадиев, В. Левин, Б. Макенхоупт.
Цель работы – получить Lp-версию следующего точного неравенства,
доказанного Ф.Г. Авхадиевым и К.-Й. Вирсом в [5]
Z01 f 02(x)dx > 1 4 Z01 f 2x(2x)dx + λ2 0 Z01 f 2(x)dx:
Мы доказываем новые одномерные неравенства и их пространственные
аналоги в выпуклых областях. При переходе к многомерному неравенству
используем метод Авхадиева Ф.Г. из [1], [2].
В работе мы также приводим известные дискретные и интегральные неравенства типа Харди с подробными доказательствами
Итак, в данной работе мы рассмотрели дискретные и интегральные аналоги
неравенств типа Харди, разобрались в случае неравенств с логарифмическими особенностями, ознакомились с методом Авхадиева Ф.Г. [1] для перехода
от одномерных неравенств к их пространственным аналогам.
Привели доказательство точного неравенства типа Харди с дополнительными слагаемыми, доказанного Ф.Г. Авхадиевым и К.-Й. Вирсом в [5], для
случая пространств L2
Z01 f 02(x)dx > 1 4 Z01 f 2x(2x)dx + λ2 0 Z01 f 2(x)dx:
Мы доказали Lp-аналоги последнего неравенства. Отметим, что мы получили одномерные неравенства и, используя метод Ф.Г. Авхадиева, распространили эти неравенства на пространственный случай. Многомерные неравенства получили для выпуклых областей.
