В механике деформируемого твердого тела к настоящему времени
разработано большое количество моделей [1–5], описывающих поведение
сплошных сред, фазовые переходы в них, критерии разрушения и фрагментации тел под действием интенсивной нагрузки, а также континуальные модели развития разрушений.
Часть этих моделей хорошо исследована и не ставится под сомнение,
однако вычислить аналитическим образом вытекающие из них следствия
можно лишь для бесконечно-малых воздействий и очень простых по форме тел, желательно обладающих различного рода симметриями. Исследование поведения реальных тел со сложной геометрией, подвергающихся
значительным внешним воздействиям, приводящим к конечным деформациям, на основании этих моделей выполнить невозможно без привлечения
компьютера.
Другая часть моделей призвана описать наблюдаемые явления, такие
как формирование сложного вида разрушений возле места сильного удара.
Однако ответить на вопрос, действительно ли модель адекватно описывает
данное явление невозможно, без проведения ряда компьютерных моделирований, называемых численными экспериментами. К задачам численного
исследования стоит отнести и определение зачастую многочисленных параметров той или иной модели, которые практически невозможно измерить
напрямую.
Успешные попытки выполнения численного моделирования предпринимаются уже почти целый век, и за этот период достигнут существенный
6Введение 7
прогресс в способах построения эффективных программ численного расчета. Однако часть трудностей, по-видимому, носит фундаментальный характер, и их преодоление актуально и сейчас. К ним можно отнести численное
исследование многомерных динамических задач, включающее в качестве
подзадачи необходимость описания мгновенного состояния тел (введение
надлежащей сетки, методы интерполяции и т.д.), подвергающихся значительным деформациям и фрагментации на отдельные части. Не менее важным вопросом остается достижение высокой точности решения за приемлемое время на имеющемся компьютерном оборудовании, а также борьба с нефизичными эффектами, которые не следуют из сформулированной
физической модели, а возникают в результате приближенного характера
замены законов механики в интегральной или дифференциальной формах
конечными соотношениями
Основные результаты и выводы диссертации
Аналитическим образом произведено спектральное исследование матриц коэффициентов системы уравнений теории упругости, выписанной в
произвольной прямолинейной системе координат. В компактной форме получены выражения для всех собственных значений этих матриц Λ (1.22),
их левых собственные векторов Ω (1.23) и векторов взаимного к ним базиса
Ω−1 (1.24). В предшествующих работах такие выражения были известны
только для декартовой системы координат [55,75], а в прочих случаях определялись численно [19, 22, 72].
В работе предлагается использовать явное представление сеточно-характеристических схем, основываясь на произведенном спектральном исследовании, поскольку в записи таких схем входят громоздкие выражения
относительно Λ, Ω, Ω−1. В полученной упрощенной записи не требуется
решения системы линейных уравнений, обращения и даже перемножения
матриц. Полученные выражения приведены к виду, инвариантному относительно размерности пространства (справедливы в 2D и 3D), тогда как запись Λ, Ω, Ω−1 отлична для двумерного и трехмерного пространств [75]. В
результате чего вместе с упрощением программы достижима более высокая
скорость ее работы, а также исключаются численные ошибки, связанные с
решением возможно обусловленных систем линейных уравнений.
Для граничных узлов помимо явной записи было предложено использовать двухэтапный метод, причем первый этап не зависит от граничных
240Заключение 241
условий, а второй — от порядка аппроксимации. Разделение на этапы чрезвычайно удобно в программной реализации, поскольку позволяет отдельно
отлаживать компактные модули, отвечающие только за перенос значений
вдоль характеристик с тем или иным порядком точности либо только за
корректировку для конкретного граничного условия. Метод требует решения лишь системы из m-линейных уравнений, где m-число выходящих из
области характеристик, тогда как классический подход [19,22] требует решения полной системы из n-уравнений, где n-число переменных в задаче.
Приведены явные выражения для учета всех основных типов граничных условий: заданная внешняя сила, заданная скорость движения границы и т. д. А также для двух видов контактных условий на границе раздела
двух сред: полное слипание и свободное скольжение.
Предложен алгоритм построения с заданной степенью мелкости нерегулярной треугольной сетки, являющейся подчиненной ограничениям триангуляцией Делоне (constrained Delaunay), в произвольной невыпуклой области с возможно многочисленными внутренними полостями. Гарантируется выполнение ограничений сверху и снизу на размеры всех ячеек, а также
на высоты треугольников, что важно для поддержания шага интегрирования явных схем. При использовании данной сетки в качестве лагранжевой
определен максимальный шаг, при котором сетка еще не вырождается. Для
сеток приближающихся к вырождению повторный запуск алгоритма приводит к ее быстрой локальной перестройке.
Для решения задач, в которых несколько тел то вступают во взаимодействие (удар), то прекращают контакт (отскок), предложена структура
данных, которую легко модифицировать от шага к шагу и которая позволяет выяснить для всех граничных узлов всех тел их статус (наличие либо
отсутствие контакта) за линейное время относительно общего количества
граничных узлов. Допускаются контакты различных частей одного тела
между собой.Заключение 242
Предложен метод построения непрерывной кусочно-полиномиальной
функции произвольного порядка по заданным значениям в опорных точках, выбранных согласованно с заданной триангуляцией плоскости. Приведены конкретные формулы для интерполяции 1,2,3,4 порядков. Рассмотрен способ ограничения вариации восстановленного поля, который можно
сочетать с любой степенью полинома. Предложен способ построения монотонной непрерывной кусочно-квадратичной функции со строгими экстремумами только в заданных опорных точках.
В работе приводится сравнение аналитического решения модельной
задачи о распространении волн в упругой среде с численными решениями,
полученными конечно-разностными схемами при использовании регулярной решетки либо бесструктурной сетки. Численные подходы сопоставляются с точки зрения точности решения по различным критериям и скорости счета.
Приводятся результаты решения ряда задач, представляющих практическую ценность, полученные на программе, реализующей описанные
выше подходы
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
