Помощь студентам в учебе
Учебно-методический материал.
Предоставляется в ознакомительных и исследовательских целях
Предоставляется в ознакомительных и исследовательских целях
📄 Образец работы №28690
Некоторые аналоги формулы Планшереля-Ротаха для классических ортогональных многочленов
Материал размещён в информационных целях и представляет собой пример учебного исследования. Не является готовым научным трудом и требует самостоятельной переработки пользователем.
Тип работы
Диссертация
Предмет
математика
Объем
110 листов
Год подготовки
2003
Просмотров
379
500
руб.
🛒 Купить работу
Представленный материал является образцом учебного исследования, примером структуры и содержания учебного исследования по заявленной теме. Размещён исключительно в информационных и ознакомительных целях.
Workspay.ru оказывает информационные услуги по сбору, обработке и структурированию материалов в соответствии с требованиями заказчика.
Размещение материала не означает публикацию произведения впервые и не предполагает передачу исключительных авторских прав третьим лицам.
Материал не предназначен для дословной сдачи в образовательные организации и требует самостоятельной переработки с соблюдением законодательства Российской Федерации об авторском праве и принципов академической добросовестности.
Авторские права на исходные материалы принадлежат их законным правообладателям. В случае возникновения вопросов, связанных с размещённым материалом, просим направить обращение через форму обратной связи.
📋 Содержание (образец)
Введение 3
1 Основная лемма 26
2 Формула Планшереля-Ротаха для функций Чебышева-Эрмита 36
3 Аналог формулы Планшереля-Ротаха для многочленов Якоби 56
4 Новый аналог формулы Планшереля-Ротаха для
многочленов Чебышева—Лагерра 74
5 Весовые оценки для многочленов Чебышева—Эр¬мита и Чебышева-Лагерра 93
Заключение 105
Библиографический список использованной литературы 106
1 Основная лемма 26
2 Формула Планшереля-Ротаха для функций Чебышева-Эрмита 36
3 Аналог формулы Планшереля-Ротаха для многочленов Якоби 56
4 Новый аналог формулы Планшереля-Ротаха для
многочленов Чебышева—Лагерра 74
5 Весовые оценки для многочленов Чебышева—Эр¬мита и Чебышева-Лагерра 93
Заключение 105
Библиографический список использованной литературы 106
📖 Введение (образец)
Пусть на интервале (а, Ь) определена весовая функция h(x) [8].
Тогда существует система ортонормированных многочленов
В0(т), В2(т),... , Вп(х), ,
т.е. таких, для которых выполняются условия I h(x)Bn(x)Bm(x)dx = дпт, а
где 8пт — символ Кронекера.
В теории ортогональных многочленов рассматривается случай, когда функция h(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению Пирсона. Тогда многочлены (1) называются классическими И¬
Одной из ключевых задач, стоящих на пересечении теории ортогональных многочленов и теории специальных функций, является задача вычисления значения многочлена в произвольной точке на интервале ортогональности. Решение данного вопроса имеет следующие применения:
1) исследование различных видов сходимости рядов Фурье по ортогональным многочленам:
ОС
£ апВп(х), где ап= h(x)f(x)Bn(x)dx,x G (а, Ь); (2)
п=0 а
2) вычисление значений ряда (2) в произвольной точке на интервале (а, Ь);
3) изучение асимптотики коэффициентов Фурье ап
4) определение условий ограниченности многочленов Вп(х) в отдельной точке, или на некотором множестве внутри (а, Ь), или на всем сегменте ортогональности.
Возникает задача об асимптотическом поведении последовательности (1) при возрастании номера п. Для исследования асимптотических свойств ортогональных многочленов применяются различные специальные методы и приемы [7].
Асимптотические свойства классических ортогональных много¬членов подробно исследуются методом Лиувилля-Стеклова, который называется также методом интегро-дифференциальных уравнений. В случае, когда для ортогональных многочленов имеют место интегральные представления, применяется метод перевала. Метод Дарбу основан на производящих функциях. Наиболее универсальным является метод Г.Сеге, который применяется в самых общих случаях.
К настоящему времени с помощью этих и других методов получено много результатов по асимптотическим свойствам ортогональных многочленов. Наиболее важные результаты получили П. Лаплас, Гейне, Мелер, Дарбу, Стилтьес, Хильб, Г. Сеге, Фейер, Перрон, Планшерель, Ротах, Ватсон. Большая часть их утверждений относится к классическим ортогональным многочленам.
В 1929-м году Планшерель и Ротах [17] с помощью метода пер¬вала получили новые асимптотические формулы для многочленов Чебышева-Эрмита. Стандартизованные многочлены Чебышева- Эрмита могут быть определены по формуле
Нп(х) = (муД(е~Дп (3)
где п - степень многочлена. Планшерель и Ротах доказали следующее.
Тогда существует система ортонормированных многочленов
В0(т), В2(т),... , Вп(х), ,
т.е. таких, для которых выполняются условия I h(x)Bn(x)Bm(x)dx = дпт, а
где 8пт — символ Кронекера.
В теории ортогональных многочленов рассматривается случай, когда функция h(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению Пирсона. Тогда многочлены (1) называются классическими И¬
Одной из ключевых задач, стоящих на пересечении теории ортогональных многочленов и теории специальных функций, является задача вычисления значения многочлена в произвольной точке на интервале ортогональности. Решение данного вопроса имеет следующие применения:
1) исследование различных видов сходимости рядов Фурье по ортогональным многочленам:
ОС
£ апВп(х), где ап= h(x)f(x)Bn(x)dx,x G (а, Ь); (2)
п=0 а
2) вычисление значений ряда (2) в произвольной точке на интервале (а, Ь);
3) изучение асимптотики коэффициентов Фурье ап
4) определение условий ограниченности многочленов Вп(х) в отдельной точке, или на некотором множестве внутри (а, Ь), или на всем сегменте ортогональности.
Возникает задача об асимптотическом поведении последовательности (1) при возрастании номера п. Для исследования асимптотических свойств ортогональных многочленов применяются различные специальные методы и приемы [7].
Асимптотические свойства классических ортогональных много¬членов подробно исследуются методом Лиувилля-Стеклова, который называется также методом интегро-дифференциальных уравнений. В случае, когда для ортогональных многочленов имеют место интегральные представления, применяется метод перевала. Метод Дарбу основан на производящих функциях. Наиболее универсальным является метод Г.Сеге, который применяется в самых общих случаях.
К настоящему времени с помощью этих и других методов получено много результатов по асимптотическим свойствам ортогональных многочленов. Наиболее важные результаты получили П. Лаплас, Гейне, Мелер, Дарбу, Стилтьес, Хильб, Г. Сеге, Фейер, Перрон, Планшерель, Ротах, Ватсон. Большая часть их утверждений относится к классическим ортогональным многочленам.
В 1929-м году Планшерель и Ротах [17] с помощью метода пер¬вала получили новые асимптотические формулы для многочленов Чебышева-Эрмита. Стандартизованные многочлены Чебышева- Эрмита могут быть определены по формуле
Нп(х) = (муД(е~Дп (3)
где п - степень многочлена. Планшерель и Ротах доказали следующее.
✅ Заключение (образец)
В данной работе на примере классических ортогональных много¬членов рассмотрен один из возможных способов применения принципа сжимающих отображений в теории специальных функций. Оказалось возможным получение формул Планшереля-Ротаха для многочленов Чебышева-Эрмита и новых асимптотических формул для классических ортогональных многочленов. Кроме того, эти формулы даны с численными оценками на остаточные члены, что обуславливает их вычислительную ценность.
Работа может быть продолжена в следующих направлениях:
1) Применение метода к другим специальным функциям.
2) Рассмотрение второго шага метода последовательных приближений.
3) Применение полученных формул для оценок коэффициентов рядов Фурье по классическим ортогональным многочленам.
4) Уточнение оценок в лемме М.В. Федорюка.
5) Улучшение оценок остаточных членов полученных асимпто¬тических формул (например, с помощью применения более точных оценок остаточных членов в рядах Тейлора элементарных функций или в формуле Стирлинга [18]).
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Павлу Кондратьевичу Суетину за полезные замечания и создание благоприятной научной атмосферы в процессе работы.
Работа может быть продолжена в следующих направлениях:
1) Применение метода к другим специальным функциям.
2) Рассмотрение второго шага метода последовательных приближений.
3) Применение полученных формул для оценок коэффициентов рядов Фурье по классическим ортогональным многочленам.
4) Уточнение оценок в лемме М.В. Федорюка.
5) Улучшение оценок остаточных членов полученных асимпто¬тических формул (например, с помощью применения более точных оценок остаточных членов в рядах Тейлора элементарных функций или в формуле Стирлинга [18]).
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Павлу Кондратьевичу Суетину за полезные замечания и создание благоприятной научной атмосферы в процессе работы.
📕 Список литературы (образец)
🛒 Оформить заказ
⚡ Работу высылаем на протяжении 30 минут после оплаты.