ВВЕДЕНИЕ . . . 6
Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
МЕТОДА КОРРЕКТИРУЮЩИХ РЯДОВ В СИНТЕЗЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛОЖНЫХ УПРУГИХ КОНСТРУКЦИЙ.
1.1. Основные соотношения метода корректирующих рядов. . . . 50
1.2. Построение корректирующих векторов в ортогональном подпространстве.
1.3. Основные теоремы метода корректирующих рядов. . . . 64
1.4. Синтез изгибных колебаний однородных стержней. . . . 68
Глава 2. СИНТЕЗ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ ПОДКОНСТРУКЦИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОРРЕКТИРУЮЩИХ РЯДОВ.
2.1. Модальный синтез дискретных моделей подконструкций методом жестких границ.
2.1.1. Общая схема построения корректирующих рядов и синтеза подконструкций.
2.1.2. Использование ортогональных подпространств в процессе построения корректирующих векторов.
2.1.3. Методы формирования матриц подконструкций с использованием корректирующих векторов.
2.1.4. Простые корректирующие вектора в методе жестких границ.
2.2. Модальный синтез дискретных моделей подконструкций методом свободных границ.
2.2.1. Построение корректирующих рядов в методе свободных границ.
2.2.2. Вычисление корректирующих векторов с
частотным сдвигом при наличии нулевых собственных частот.
2.2.3. Сопоставление точности методов свободных и жестких границ.
2.3. Гибридный подход к модальному синтезу дискретных
моделей подконструкций.
2.4. Расчет амплитудно-фазовых частотных характеристик
сложных упругих систем с учетом демпфирования.
2.5. О синтезе аналитических и дискретных моделей подконструкций.
2.6. Расчет динамических характеристик орбитальной космической станции.
Глава 3. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ГИДРОУПРУГОСТИ
ДЛЯ КОНСТРУКЦИЙ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ОБЪЕМАМИ ЖИДКОСТИ.
3.1. Уравнения малых колебаний жидкости в лагранжевой
форме и кинематические условия на контактной поверхности.
3.2. Динамические условия на контактной поверхности и потенциальная энергия гравитационных сил жидкости.
3.3. Уравнения колебаний конструкции, содержащей жидкость. . . . 164
3.4. Вариационные принципы для решения задач о колебаниях конструкций, содержащих жидкость.
Глава 4. МЕТОДИКА РАСЧЕТА ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛОЖНЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ЖИДКОСТЬ.
4.1. Основные соотношения. . . . 177
4.1.1. Колебания несжимаемой жидкости. . . . 180
4.1.2. Тонкостенная упругая оболочка. . . . 182
4.1.3. Упругие шпангоуты. . . . 186
4.1.4. Вариационная формулировка проблемы. . . . 189
4.1.5. Массы эквивалентных осцилляторов. . . . 198
4.2. Конечноэлементная дискретизация конструкции. . . . 200
4.2.1. Конечные элементы несжимаемой жидкости. . . . 201
4.2.2. Конечные элементы тонкостенной оболочки. . . . 204
4.2.3. Конечные элементы свободной поверхности. . . . 209
4.2.4. Формирование объединенных матриц конечноэлементной модели.
4.3. Учет влияния статического деформированного состояния при расчете динамических характеристик.
4.4. Основные принципы построения вычислительных алгоритмов.
4.4.1. Рациональное использование памяти вычислительной системы.
4.4.2. Решение проблемы собственных значений. . . . 219
4.4.3. Ввод исходной информации. . . . 221
4.5. Результаты расчетов. . . . 223
4.5.1. Сопоставление расчетных данных с известными решениями.
4.5.2. Исследование устойчивости гидроупругой системы при действии гравитационного поля.
4.6. Синтез подконструкций в расчетах динамических
характеристик корпусов жидкостных ракет тандемной схемы.
Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПРОДОЛЬНЫХ АВТОКОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТНОЙ РАКЕТЫ НА ОСНОВЕ ОБОЛОЧЕЧНОЙ МОДЕЛИ КОРПУСА. 
5.1. Уравнения продольных колебаний жидкостной ракеты как гидроупругой системы с регулятором.
5.2. Уравнения нелинейных колебаний осесимметричных
оболочечных конструкций с жидкостью.
5.3. Параметрическое возбуждение неосесимметричных форм
при осесимметричных колебаниях.
5.4. Вычисление коэффициентов нелинейных уравнений. . . . 277
Построение областей параметрического возбуждения.
5.5. Уравнения продольных колебаний с учетом нелинейности поведения корпуса. Метод решения.
5.6. Исследование нелинейных автоколебаний гидроупругой системы с регулятором.
5.6.1. Параметрическое возбуждение неосесимметричных колебаний.
5.6.2. Нелинейные продольные автоколебания гидроупругой системы с регулятором.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
Купить

Практически все современные технические сооружения и аппараты - ракеты и космические станции, самолеты, корабли, автомобили, строительные и гидротехнические сооружения - представляют собой сложные системы, состоящие из совместно функционирующих подсистем. Условия взаимодействия этих подсистем, выделяемых либо пространственно, как часть конструкции, либо в плане выполняемой функции, определяют успешность выполнения главной задачи разрабатываемой системы. Как правило, понятие “сложность” связывается именно с наличием в системе многих компонент, взаимное влияние которых создает проблемы при проведении теоретических исследований, необходимых для ее проектирования.
Физическую основу рассматриваемых систем, несущую все прочие под-системы, представляет конструкция, скомпонованная из стержневых, тонко-стенных или иных элементов, изготовленных из материалов, которые в пределах достаточно малых деформаций могут рассматриваться как упругие. Результатом взаимодействия упругой конструкции с прочими подсистемами и с внешней средой являются ее колебания - периодические или же переходный процесс. Параметры этих колебаний определяют пригодность конструкции к эксплуатации по критериям прочности, амплитудным значениям перемещений, уровням перегрузок или иным конкретным для каждой системы показателям.
Важным этапом исследования динамического поведения разрабатываемой системы является определение динамических характеристик входящей в ее состав упругой конструкции, к числу которых относятся собственные частоты и формы колебаний, амплитудно-фазовые частотные характеристики, динамические коэффициенты влияния (динамические жесткости и динамические податливости) и т.д. Эта информация является исходной для последующего анализа вибраций конструкции.
Обычно упругая конструкция сама представляет собой сложную систему, составленную из относительно более простых подконструкций, механически соединенных между собой и взаимодействующих в процессе совместных колебаний. Это существенно осложняет задачу исследования ее динамических характеристик как экспериментальными, так и расчетными методами. При этом возникающие трудности могут иметь как технический, так и организационный характер:
- размерность математической модели всей конструкции в целом может превышать возможности используемой для расчета вычислительной системы (либо ограничен объем памяти, либо потребное время счета делает задачу не-выполнимой);
- конструкция может оказаться слишком велика для проведения вибрационных испытаний (в особенности это относится к летательным и космическим аппаратам, динамические характеристики которых должны определяться при отсутствии какого-либо закрепления);
- многие крупные системы (например, космические станции) обычно формируются из фрагментов, разрабатываемых разными фирмами, находящимися в разных странах на значительном удалении друг от друга, когда сборка всех компонент для проведения испытаний оказывается весьма дорогостоящим и трудновыполнимым мероприятием.
Естественным направлением мысли на пути преодоления указанных проблем является анализ расчлененной на подсистемы конструкции по частям и последующий синтез результатов, полученных для каждой части в отдельности теоретически или экспериментально. Развитие электронной вычислитель¬ной техники с середины 1960-х годов придало актуальность разработке универсальных алгоритмов, позволяющих автоматизировать процедуру синтеза при исследовании динамических характеристик сложных механических систем.
Считается, что впервые четко оформленный тензорно-матричный подход к этой проблеме изложен в работах Г . Крона [65]. Предложенная им методология преимущественно ориентирована на анализ электрических сетей и оказалась мало приспособленной к специфике механических задач. Тем не менее, имеются немногочисленные последователи, развивающие это направление [183, 185, 86].
Основные же пути развития теории синтеза динамических характеристик подконструкций определялись с учетом особенностей задач динамики упругих систем. Значительный вклад в этот раздел науки внесли отечественные исследователи, и здесь следует отметить работы Постнова В.А. [70, 89, 90, 85] , Вольмира А.С. [28, 29, 30, 79], Шклярчука Ф.Н. [101], Шмакова В.П. [103, 104, 105], Лиходеда А.И. [68, 4, 5], Бурмана З.И. [24]. Среди зарубежных исследователей наиболее заметны работы таких авторов, как Craig R.R. [126, 127, 128, 129, 130], MacNeal R.H. [168].
Среди многообразия подходов к синтезу динамических характеристик выделим, как наиболее физически обоснованный, метод модального синтеза, когда в качестве исходной информации о свойствах подконструкций используются данные об их собственных частотах и формах колебаний. Основой для построения математической модели всей системы в этом случае служит представление колебаний каждой подконструкции в виде ряда, содержащего ее собственные формы (в дальнейшем - модального разложения колебаний). Т.е. собственные формы играют роль координатных функций в описании движения подконструкции.
Заметим, что существуют подходы к решению данной задачи, не основанные на предварительном вычислении динамических характеристик подконструкций. Это, например, работа [113], в которой разбиение дискретной моде¬ли упругой системы на подконструкции используется, фактически, лишь для более эффективной реализации метода итерирования подпространства при вычислении собственных частот и форм системы. Здесь же упомянем работы [140, 169], в которых предлагается для аппроксимации колебаний подконструкций использовать произвольные полные системы базисных функций, а также работы [117, 141, 142], где с помощью специальных итерационных алгоритмов эти базисные функции улучшаются (итерация подпространств на уровне подконструкций).
Тем не менее, наибольшее количество работ посвящено модальному синтезу, поскольку в этом случае удается эффективно сокращать объем исход¬ной информации о подконструкциях и, что самое важное, уменьшать размерность решаемой в процессе синтеза динамических характеристик задачи, основываясь на ограничении исследуемого частотного диапазона.
Важное значение при исследовании сложной системы имеет способ со-единения ее компонент (интерфейс системы). Как правило, соединение под-конструкций осуществляется посредством специальных пространственно локализованных узлов, работающих таким образом, что в рамках принимаемой математической модели подконструкции воздействие со стороны этого узла представляет совокупность сосредоточенных обобщенных сил, связанных с соответствующими обобщенными перемещениями в точке. Обычно входящие в узел степени свободы связаны линейными соотношениями, входящими в получаемую при синтезе математическую модель системы непосредственно либо с помощью множителей Лагранжа, как в работе [132].
Сопряжение подконструкций по одномерным и двумерным многообразиям обычно имеет место при искусственном рассечении крупногабаритной конструкции. При использовании в расчетах дискретных моделей подконструкций (как правило, построенных на основе метода конечных элементов) здесь не возникает принципиальных затруднений, поскольку соединение осуществляется посредством коллокации в узлах модели. В работах [140, 169] предлагается метод, основанный на введении специальных весовых функций,связанных с континуальным интерфейсом, что практически означает его дискретизацию (хотя и не пространственную). В работе [155] с этой целью введены граничные обобщенные координаты. Такой подход может быть полезен при использовании аналитических моделей подконструкций. Отметим также работу [174], где в вариационной постановке задачи синтеза используются определенные на границе сопряжения множители Лагранжа, а решение дискретизированных по методу Ритца уравнений осуществляется с использованием сингулярного разложения подматриц, соответствующих интерфейсу системы.
Ключевым вопросом при реализации модального синтеза подконструкций является выбор граничных условий, при которых определяются собственные частоты и формы компонент системы (парциальные динамические характеристики). При этом, естественно, не могут варьироваться наложенные на подконструкцию кинематические ограничения, не относящиеся к интерфейсу системы. Свобода выбора существует только для обобщенных перемещений, связанных с соединительными узлами, которые в дальнейшем будем называть внешними степенями свободы подконструкции. Существующие методы модального синтеза можно классифицировать по этому признаку следующим об-разом:
- методы жестких границ, когда парциальные характеристики подконструкций определяются при условии закрепления внешних степеней свободы;
- методы свободных границ, когда парциальные характеристики подконструкций определяются при не закрепленных внешних степенях свободы;
- гибридные методы, если возможно частичное закрепление внешних степеней свободы подконструкции при определении ее парциальных характеристик.
В дополнение к перечисленным , существует еще метод, названный в работе [131] методом «нагруженных границ», когда расчет форм колебаний под-конструкции осуществляется не изолированно от остальных компонент системы, а при дополнительных жесткостных и инерционных нагрузках, добавляемых к внешним степеням свободы с целью приблизить эти формы к виду собственных колебаний системы в целом на данной подконструкции. При правильном выборе этих нагрузок решение задачи о собственных значениях при синтезе подконструкций может дать более точный результат. Варианты такого подхода под названием «метода ветвей» описаны в работах [135, 116]. Нагруженные собственные формы используются также в работе [156].
Неудобство этого метода по сравнению с тремя перечисленными выше очевидно ввиду того, что модификация одной из составляющих систему под-конструкций при таком подходе вызывает необходимость пересчета парциальных характеристик остальных подконструкций и внесения изменений в соответствующие им базы данных. При этом интуитивность подбора дополнительных нагрузок не гарантирует существенного повышения точности результата.
Варианты метода жестких границ представлены в работах [149, 150, 151, 128, 126, 130, 61]. Отметим, что вариант в форме Крейга-Бэмптона [128] по¬служил основой распространенного в настоящее время формата обмена данными по динамике подконструкций между кооперированными разработчиками сложных конструкций. В работе [144] описан метод жестких границ применительно к системам с демпфированием, позволяющий учитывать несимметричность, связанную с кориолисовыми силами и взаимодействием системы с внешней средой. В работе [5] описан метод выделения квазистатических составляющих кинематического и силового типов как дополнительных членов модального разложения колебаний подконструции, обеспечивающий существенное повышение точности решения. При этом вычисляемая на первом шаге квазистатическая составляющая кинематического типа представляет собой аналог введенных в методе Крейга-Бэмптона «граничных форм» («constraint modes»), дополняющих модальное разложение.
Методы свободных границ представлены в работах [136, 146, 129, 126, 181]. Отметим, что в работе [129] введено понятие остаточной податливости для приближенного учета влияния в низкочастотном диапазоне не включенных в модальное разложение высших тонов подконструкции, с которым связано понятие «соединительных форм» («attachment modes»), как дополнительных членов этого разложения [126]. Метод учета остаточных эффектов второго по¬рядка предложен в работе [181]. В работе [154] для построения матриц остаточной податливости балочных подсистем используются аналитические выражения для собственных форм и частот.
Гибридный метод описан в работе [168], где также предложены методы учета остаточных эффектов для повышения точности решения.
В отечественной практике получили распространение многоуровневые методы синтеза, в которых допускается поэтапное укрупнение фрагментов сложной системы. При этом синтез группы подконструкций на более низком уровне дает информацию о подконструкции следующего уровня, получаемой посредством их соединения. Метод суперэлементов, представленный в работах [28, 29], ориентирован на использование собственных форм, определяемых с учетом влияния соседних суперэлементов вдоль общих границ, чем сходен с методом работы [116]. Предложенный в работе [57] метод многоуровневой динамической конденсации может быть отнесен к методам жестких границ и на низшем уровне соответствует идеологии работы [128]. При этом, как и в работе [115], подконструкция рассматривается как суперэлемент с внутренними обобщенными неизвестными, соответствующими ее собственным формам.
Отметим как предельный («вырожденный») случай модального синтеза метод, основанный на статической конденсации подконструкции [153, 139, 70], когда вводится жесткая связь внешних степеней свободы с внутренними и последние исключаются из уравнений колебаний. Такой подход весьма прост в реализации, т.к. не требует предварительного определения собственных частот и форм, но имеет весьма ограниченную сферу применения ввиду невысокой точности, поскольку в уравнениях полностью исключается внутренняя динамика подконструкции. Как промежуточный можно рассматривать предложенный в работе [167] вариант упрощенной динамической конденсации, когда вычисленные при фиксированных границах собственные формы используются для приближенного учета внутренней динамики подконструкции посредством линеаризации в окрестности заданного значения частоты.
Заметим, что все упомянутые выше методы направлены на обеспечение удовлетворительной точности результатов синтеза в диапазоне низких частот колебаний, для чего в модальных разложениях удерживаются формы, соответствующие низшим собственным частотам подконструкций. В работах [152, 162] предложены методы учета остаточных эффектов не только высших, но и низших отсекаемых в модальных разложениях тонов, когда интервал исследуемых частот для системы ограничен снизу ненулевым значением.
Подавляющая часть методик синтеза динамических характеристик разрабатывалась таким образом, чтобы в результате синтеза формировались линейные алгебраические системы или системы дифференциальных уравнений. В этом случае на завершающем этапе расчета динамических характеристик системы формулируется линейная задача о собственных значениях, методы решения которой хорошо разработаны. Ради этого при выводе соотношений отбрасываются нелинейные члены и вводятся иные допущения, приводящие к погрешностям, оценка которых представляет собой непростую задачу.
В случае метода жестких границ результирующая система обычно синтезируется аналогично процедуре объединения конечных элементов с внутренними степенями свободы [56] в соответствии с методом перемещений. В случае методов свободных границ процедура синтеза несколько более сложная. В работе [53] описан алгоритм формирования уравнений задачи о собственных значениях для метода остаточных податливостей.
Однако, следует отметить, что для решения многих задач, связанных с разработкой технических систем, включающих сложную упругую конструкцию, определение в чистом виде ее собственных частот и форм колебаний является лишь промежуточной задачей. Непосредственно важными часто оказываются данные, получаемые с использованием этих характеристик, - это амплитудно-фазовые частотные характеристики, передаточные функции, импедансы, динамические коэффициенты влияния (динамические жесткости и динамические податливости) и т.д. Характерными примерами здесь могут быть задачи исследования устойчивости систем управления упругими объектами, задачи акустики. Все перечисленные выше величины, являющиеся функциями частоты, относятся в широком смысле к динамическим характеристикам упругой системы. Непосредственное их получение из соотношений синтезирован¬ной математической модели упругой системы без промежуточной стадии вычисления ее собственных частот и форм обеспечивает в указанных случаях решение основной задачи.
Подход, представленный в работе Крона [65] и его последователей [183, 185], фактически направлен на вычисление матриц динамических податливостей как нелинейных функций частоты с последующим синтезом по методу сил. Получаемая система линейных алгебраических уравнений содержит зависящие от частоты коэффициенты. Это дает возможность построения различно¬го рода амплитудно-фазовых частотных характеристик и прочих перечисленных выше зависимостей. Определение собственных частот и форм колебаний системы здесь также возможно с использованием общих методов поиска решений нелинейных уравнений, разработаны и специализированные методы для рассматриваемого класса задач (см., например, [183, 185]).
Заметим, что достаточно точная информация о динамических коэффициентах влияния упругой системы может эффективно использоваться и для рас¬чета переходных процессов при исследовании динамических нагрузок при по¬мощи численных интегральных преобразований, как, например, в работе [184].
Аналогичный подход представлен в работах [164, 165], но с использованием матриц динамических жесткостей подконструкций. Он проще в реализации, поскольку основан на синтезе систем уравнений по методу перемещений, что ближе исследователям, традиционно работающим с методом конечных элементов. Здесь, как и в работах [65, 183, 185], для построения динамических матриц подконструкций используются данные об их собственных частотах и формах колебаний.
Отметим также работу [2], в которой для формирования нелинейных уравнений сложных упругих систем предлагается использовать математический аппарат метода факторизованных возмущений, предназначенного для анализа линейных физических систем с взаимодействием. Каждая налагаемая в процессе соединения подсистем связь при этом представляется возмущающим оператором, действующим на исходную совокупность не взаимодействующих подсистем. Существенной составляющей в предлагаемых математических построениях являются выражения для частотных гриновских функций изолированных подсистем. Это весьма жесткое для практического использования метода условие, поскольку построение соответствующих аналитических выражений возможно для ограниченного класса подсистем.
Общей для всех описанных подходов является проблема точности представления число собственных форм, - проблема усечения модального разложения. Этот вопрос принципиален, поскольку лежит в основе метода модального синтеза, обеспечивающего снижение размерности решаемых задач и вычислительных затрат за счет ограничения спектра подконструкций.
Очевидно, что если ставится задача исследования динамических свойств системы в диапазоне частот, ограниченных сверху некоторой частотой среза, то в модальных разложениях подконструкций должны учитываться все собственные формы, частоты которых не превосходят эту границу. Отбрасывание форм с более высокими частотами вносит погрешность в математическую модель и приводит к ошибкам в получаемых результатах. Как показывают исследования, в зависимости от способа соединения подконструкций и локальных особенностей их собственных форм влияние высших тонов на низкочастотную динамику системы меняется существенно не монотонно с возрастанием их собственных частот. Вопросам выбора критериев оценки и исследованию величины вносимой погрешности посвящены работы [171, 163, 145, 114, 52]. Предлагаемые критерии предназначены для автоматизации процесса выбора удерживаемых в модальных разложениях собственных форм подконструкций. Однако на практике наиболее употребителен подход, представленный в работах [181, 57] рекомендацией удерживать в модальных разложениях все собственные формы, частоты которых превосходят обусловленную частоту среза в 1,5 - 2 раза.
Подчеркнем, что несмотря на актуальность вопроса, ни один из рассмотренных выше методов модального синтеза не позволяет сформулировать априорную оценку погрешности получаемых результатов. Причина этого в том, что единственным варьируемым параметром, влияющим на точность получаемого результата, остается во всех методах количество удерживаемых собственных форм в модальном разложении колебаний подконструкции. Изначально не предсказуемая в общем случае сложность спектров подконструкций и структура их собственных форм не позволяет делать предварительные оценки погрешности синтеза.
В настоящей работе предлагается принципиально иной подход к оценке погрешности синтеза, основанный на отказе от идеи наращивания числа учитываемых собственных форм сверх минимально необходимого, определяемого количеством тонов с частотами, попадающими в исследуемый интервал. Повышение точности представления динамических свойств подконструкции в ограниченном частотном диапазоне достигается с помощью конструктивного алгоритма формирования вспомогательных членов модального разложения при неизменном наборе сохраняемых собственных форм.
В работе В . П . Шмакова [103] предложено строить решение задачи о гармонических колебаниях одномерной подконструкции в виде разложения по собственным формам базовой задачи, дополненного корректирующей составляющей. Эта корректирующая составляющая строится в виде многочлена относительно квадрата частоты колебаний, коэффициенты которого определяются как решения рекуррентной последовательности статических краевых задач. Поэтому степень многочлена может неограниченно наращиваться. При этом коэффициенты модальных членов разложения изменяются таким образом, что вклад тонов с высокими собственными частотами в области низких частот колебаний уменьшается с ростом порядка корректирующего многочлена. Это является основой для повышения точности получаемых при синтезе подконструкций решений частотного уравнения в условиях ограниченного числа учтенных собственных форм.
Аналогичный подход использован в работе А.И.Лиходеда [68] для повышения точности при расчетах нестационарного динамического нагружения упругих систем, а также при синтезе подконструкций методом жестких границ [5], где он трактуется как многократное выделение квазистатической составляющей.
Неограниченное наращивание порядка корректирующего многочлена не приводит к построению сходящегося степенного ряда. Однако, если выделить некоторое количество собственных форм и строить корректирующий много¬член в подпространстве, ортогональном к линейной оболочке этих форм, то соответствующие им (формам) коэффициенты имеют вид, не зависящий от по¬рядка корректирующего многочлена. В таком случае получающийся степенной ряд оказывается сходящимся в ограниченном частотном интервале, если в модальное разложение включены все собственные формы, частоты которых лежат в этом интервале. С учетом этого обстоятельства автором настоящей работы был введен термин «корректирующий ряд» [37, 38, 39]. Коэффициенты это¬го ряда можно называть корректирующими функциями.
В настоящей работе методика синтеза динамических характеристик строится на основе гибридного подхода, когда собственные формы подконструкции определяются при условии частичного закрепления внешних степеней свободы. Метод жестких границ и метод свободных границ рассматриваются как частные случаи. Соединение подконструкций предполагается дискретным, т.е. интерфейс системы конечномерный.
Теоретической основой разработанного здесь метода корректирующих рядов служат две сформулированные автором основные теоремы. Суть первой из них в том, что гармонический отклик подконструкции в ограниченном частотном интервале может быть точно представлен в виде модального разложения, включающего лишь те тона колебаний, собственные частоты которых не превосходят верхней границы этого интервала, и дополненного равномерно сходящимся на этом интервале корректирующим рядом. Вторая теорема утверждает то же самое относительно ограниченного частотного интервала с не-нулевой нижней границей, причем в модальном разложении должны присутствовать лишь те собственные формы, частоты которых лежат в этом интервале. В этом случае строятся корректирующие ряды относительно смещенного значения частотного параметра.
Использование этих теорем позволяет принципиально изменить идеологию модального синтеза. Усечение модальных разложений путем отбрасывания высших тонов подконструкций заменяется усечением корректирующего ряда. В процессе доказательства теорем строится алгоритм вычисления коэффициентов корректирующего ряда и, что весьма важно, выводится асимптотическая оценка погрешности его усечения. Использование этой оценки в качестве априорной при проведении пробных расчетов дает возможность реально оценивать точность получаемых результатов.
В настоящей работе принята терминология, в соответствии с которой усеченный корректирующий ряд, содержащий mчленов, (фактически, корректирующий многочлен) называется корректирующим рядом m-то порядка. Упомянутая асимптотическая оценка содержит порядок корректирующего ряда в показателе степени, основание которой меньше единицы. Таким образом, наблюдается экспоненциальная сходимость решения с ростом порядка корректирующего ряда.
На основе предложенного вида модального разложения для подконструкции формулируются соотношения между внешними обобщенными силами и перемещениями в виде системы уравнений, содержащих набор динамических коэффициентов влияния. Эти коэффициенты могут использоваться для формирования матрицы динамических жесткостей или матрицы динамических податливостей подконструкции. Синтез системы в зависимости от этого можно осуществлять либо по методу перемещений (метод динамических жесткостей), либо по методу сил (метод динамических податливостей).
Получаемая система уравнений может быть использована для определения собственных частот и форм упругой системы, однако наиболее удобно ее применение для непосредственного вычисления амплитудно-фазовых частотных характеристик, передаточных функций и других характеристик в решении тех задач, где такие данные используются. Следует отметить, что разработанная методика обеспечивает чрезвычайно быстрый расчет частотных характеристик системы при гарантированной высокой точности в заданном частотном диапазоне.
Основные соотношения и теоремы метода сформулированы применительно к обобщенной операторной постановке задачи для континуальных моделей упругих систем. Аналогичные результаты формулируются для дискретных моделей подконструкций, получаемых, например, методом конечных элементов. Векторные коэффициенты корректирующих рядов в этом случае называются корректирующими векторами.
Полученные формулы легко обобщаются на случай пропорционально демпфированных подконструкций. При этом предоставляется возможность задания различных коэффициентов демпфирования в подконструкциях, что существенно расширяет возможности моделирования демпфированных упругих систем.
Для проведения численных исследований и расчетов разработан программный комплекс, содержащий:
- программы расчета динамических характеристик конечноэлементных моделей упругих подконструкций с препроцессором;
- постпроцессорные программы формирования баз данных о подконструкциях, содержащих информацию о динамических характеристиках и корректирующих векторах;
- программы исследования спектра составной упругой системы и построения ее частотных характеристик с учетом демпфирования.
Сформированные предварительно базы данных о подконструкциях используются в алгоритме синтеза для определения динамических и частотных характеристик составной системы. Замена или модификация какой-либо компоненты системы отражается лишь в изменении соответствующей ей базы данных. Разработана универсальная структура баз данных для конечноэлементных моделей подконструкций.
Программный комплекс строится на основе общих принципов и может дополняться программами расчета необходимых для синтеза данных о под-конструкциях различного типа. В настоящее время разработаны версии для пространственных стержневых конструкций и осесимметричных оболочечных конструкций, содержащих жидкость. Могут использоваться и аналитические соотношения для континуальных моделей подконструкций. В частности, вы¬ведены формулы для изгибных колебаний однородных стержней, соединяемых в концевых сечениях.
В процессе исследований автором настоящей работы обнаружено, что рекуррентному алгоритму построения корректирующих векторов присуще свойство неустойчивости, приводящее к быстрому накоплению погрешностей и распаду решения уже при учете 5-6 членов корректирующего ряда [37]. Эффективным средством подавления этой неустойчивости оказалась ортогонализация вычисляемых векторов на каждом шаге рекуррентного процесса к учтенным собственным формам подконструкции. Это обстоятельство свидетельствует о том, что формулировки работ [103, 104, 105, 5] не достаточны для построения устойчивого гарантирующего точность результата алгоритма. Построение корректирующих функций неизбежно должно осуществляться в ортогональном к учтенным собственным формам подпространстве (с коррекцией ортогональности на каждом шаге).
Существенные затруднения при реализации модального синтеза вызывает наличие среди собственных частот подконструкции нулевых значений, со-ответствующих формам движения твердого тела. Предложенный автором способ использования частотного сдвига при вычислении корректирующих век¬торов позволяет избежать трудностей и не вносить в алгоритм принципиальных изменений [39].
Помимо гарантированной оценки точности результата синтеза для метода корректирующих рядов важна оценка дополнительных затрат, связанных с вычислением корректирующих векторов, в сравнении с расширением набора собственных форм подконструкции. Учитывая то обстоятельство, что факторизация матрицы для решения последовательности статических задач выполняется однократно, можно приблизительно оценить затраты на вычисление одного дополнительного корректирующего вектора как на порядок меньшие по сравнению с затратами на вычисление дополнительной собственной формы. При этом проведенные исследования показали, что при использовании 5-10 членов корректирующего ряда относительная погрешность результатов синтеза не превышает 10-5-10-6. Это свидетельствует о неоспоримом преимуществе предложенного метода, особенно существенном для подконструкций с высокой плотностью спектра (что характерно для сложных пространственных конструкций). Его эффективность демонстрируется в настоящей работе на примере сложной составной конструкции орбитальной космической станции, модифицируемой в процессе сборки и изменяющей свою конфигурацию в процессе функционирования (например, в связи со стыковкой с транспортными кораблями или добавлением новых модулей).
Наличие среди компонентов сложной упругой системы гидроупругих звеньев, представляющих собой упругие конструкции, взаимодействующие с ограниченными объемами жидкости (в частности, содержащие жидкость во внутренних полостях), существенно усложняет задачу исследования ее динамических свойств. Такие задачи актуальны для исследования динамики лета-тельных аппаратов, гидротехнических сооружений, проблем транспортировки жидких грузов. Успех их решения непосредственно зависит от правильности математической постановки задачи и эффективности методов определения динамических характеристик упругих конструкций с жидкостью, входящих в со¬став системы.
Как правило, конструкции, содержащие жидкость, представляют собой тонкостенные сосуды, динамическое поведение которых хорошо описывается с помощью соотношений теории оболочек.
Первые результаты в области динамики колебаний упругих оболочек, взаимодействующих с жидкостью, связаны с именами Рэлея, Жуковского Н.Е. и других исследователей конца XIX - начала XX веков. Однако период наиболее интенсивной разработки данной проблемы относится ко второй половине XX века в связи с развитием ракетной и авиационной техники, а также электронных вычислительных систем.
В основе современного этапа развития методов решения данного класса задач лежат работы таких отечественных исследователей как Моисеев Н.Н. [73], Рабинович Б.И. [92], Шмаков В.П. [102], Рапопорт И.М. [94]. Среди зарубежных специалистов здесь можно отметить работы Abramson H.N., Kana D.D., Lindholm U.S., Bauer H.F. Значительный вклад в решение проблемы внесли исследования Григолюка Э.И., Шклярчука Ф.Н., Горшкова А.Г., Балабуха Л.И., Балакирева Ю.Г., Лампера Р.Е., Пожалостина А.А. и других.
Вообще, число опубликованных к настоящему времени работ, посвященных задаче расчета динамических характеристик оболочек, содержащих жидкость, весьма велико. Основную часть из них составляют работы, в которых исследуются оболочки определенной формы и решения получаются, как правило, с помощью какого-либо вариационного метода, причем выбор координатных функций определяется формой полости. В этих работах получены приближенные или точные формулы для ряда оболочек простой геометрической формы. Однако для практики, где сложность конструкторских решений часто затрудняет получение аналитических оценок и не всегда позволяет использовать простые модели, наибольшую ценность представляют универсальные численные методы, не налагающие жестких ограничений на форму и параметры исследуемых конструкций. Здесь следует отметить разработанный под руководством В.П.Шмакова метод расчета динамических характеристик оболочек вращения с жидкостью [17, 18, 23], основанный на разложении потенциала смещений жидкости в ряд по собственным функциям гидродинамической задачи (решаемой методом Ритца) и использовании при решении уравнений теории оболочек метода ортогональной прогонки. Отметим также предложенный Р.Е.Лампером метод Ритца с варьируемым параметром [3, 67], позволяющий рассчитывать динамические характеристики широкого класса осесимметричных баков с жидкостью. Применялись при решении указанной задачи и прямые численные методы: метод конечных разностей [6, 7] и метод суммарных представлений [8, 9], также основанный на конечно-разностной аппроксимации дифференциальных операторов.
В настоящее время известны решения задач для весьма широкого класса оболочек с жидкостью: исследовались цилиндрические оболочки с различны¬ми днищами (плоскими, сферическими, коническими), сферические оболочки, конические оболочки, соосные цилиндрические оболочки. Мы не указываем здесь эти работы ввиду большого их числа - библиография по этому вопросу содержит несколько сотен названий. Заметим однако, что, несмотря на это, ряд вопросов долгое время оставался не решенным. Неизвестны, например, работы, в которых изучались бы колебания тороидальной оболочки с жидкостью. Лишь единичные работы касаются задачи о колебаниях систем из двух баков с
- 24 - промежуточными разделительными днищами, причем рассмотрены весьма частные случаи. При этом на практике, например, в изделиях ракетной техники часто встречаются баки весьма сложной конфигурации, с двусвязными полостями, с разделительными днищами, когда невозможно рассматривать отдельно колебания жидкости в баках горючего и окислителя. Значительно усложняют разработку простых моделей для аналитических оценок и приближенных расчетов такие факторы, как переменность толщины оболочки, наличие шпангоутов, подкрепляющих ребер.
Все это вызвало потребность разработки простого и универсального алгоритма, позволяющего быстро выполнить расчет с учетом как можно больше¬го числа конструктивных особенностей (возможно, ценой увеличения затрат времени работы вычислительной системы). В наибольшей степени таким условиям при расчете упругих конструкций отвечает метод конечных элементов [56]. В настоящей работе развиваются теоретические и методические основы его применения для расчета динамических характеристик оболочечных конструкций с жидкостью, функционирующих самостоятельно либо входящих в со¬став сложной упругой системы в качестве подконструкций.
Применению метода конечных элементов к расчету динамики упругих конструкций, взаимодействующих с жидкостью, посвящен целый ряд работ преимущественно зарубежных авторов. Если попытаться их классифицировать, то можно выделить две группы работ.
К первой группе отнесем те работы, в которых д
Купить